Na geometria algébrica, um morfismo entre esquemas é dito ser suave (smooth) se

(i) for localmente de apresentação finita; (ii) for plano; e (iii) para todo ponto geométrico , a fibra for regular.

A condição (iii) significa que cada fibra geométrica de é uma variedade não singular (se for separada). Assim, intuitivamente falando, um morfismo suave fornece uma família plana de variedades não singulares.

Se for o espectro de um corpo algebricamente fechado e for de tipo finito, então recupera-se a definição de uma variedade não singular.

Uma variedade singular é chamada de suavizável se puder ser colocada em uma família plana de modo que as fibras próximas sejam todas suaves. Tal família é chamada de suavização da variedade.

Definições equivalentes Existem muitas definições equivalentes de um morfismo suave. Seja localmente de apresentação finita. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

é suave. é formalmente suave (veja abaixo). é plano e o feixe de diferenciais relativos é localmente livre de posto igual à dimensão relativa de . Para qualquer , existe uma vizinhança de e uma vizinhança de tais que e o ideal gerado pelos menores de é . Localmente, fatora em onde é étale.

Um morfismo de tipo finito é étale se e somente se for suave e quase-finito.

Um morfismo suave é estável sob mudança de base e composição.

Um morfismo suave é universalmente localmente acíclico.

Exemplos Morfismos suaves devem corresponder geometricamente a submersões suaves na geometria diferencial; ou seja, eles são fibrações locais suaves triviais sobre algum espaço base (pelo Teorema de Ehresmann).

Morfismo suave para um ponto Seja o morfismo de esquemas

Ele é suave devido à condição jacobiana: a matriz jacobiana

se anula nos pontos , que têm uma interseção vazia com o polinômio, uma vez que

são ambos diferentes de zero.

Fibrações triviais Dada uma esquema suave , o morfismo de projeção

é suave.

Fibrados vetoriais Todo fibrado vetorial sobre um esquema é um morfismo suave. Por exemplo, pode-se mostrar que o fibrado vetorial associado de sobre é o espaço projetivo ponderado menos um ponto

enviando

Note que os fibrados de soma direta podem ser construídos usando o produto fibrado

Extensões de corpo separáveis Lembre-se de que uma extensão de corpo é chamada de separável se, e somente se, dada uma apresentação

temos que o . Podemos reinterpretar esta definição em termos de diferenciais de Kähler da seguinte forma: a extensão de corpo é separável se, e somente se

Note que isto inclui todo corpo perfeito: corpos finitos e corpos de característica .

Não-exemplos

Variedades singulares Se considerarmos da álgebra subjacente para uma variedade projetiva , chamado de cone afim de , então o ponto na origem é sempre singular. Por exemplo, considere o cone afim de uma variedade quíntica de dimensão dada por

A matriz jacobiana é dada por

que se anula na origem, portanto o cone é singular. Hipersuperfícies afins como estas são populares na teoria das singularidades devido à sua álgebra relativamente simples, mas com ricas estruturas subjacentes.

Outro exemplo de uma variedade singular é o cone projetivo de uma variedade suave: dada uma variedade projetiva suave , o seu cone projetivo é a união de todas as retas em que intersectam . Por exemplo, o cone projetivo dos pontos

é o esquema

Se olharmos na carta , este é o esquema

e ao projetá-lo para baixo na reta afim , esta é uma família de quatro pontos que degeneram na origem. A não-singularidade deste esquema também pode ser verificada usando a condição jacobiana.

Famílias em degeneração Considere a família plana

As fibras são todas suaves, exceto pelo ponto na origem. Uma vez que a suavidade é estável sob mudança de base, esta família não é suave.

Extensões de corpo não separáveis Por exemplo, a extensão de corpo é não separável, logo o morfismo de esquemas associado não é suave. Se olharmos para o polinômio mínimo da extensão de corpo,

então , logo as diferenciais de Kähler serão diferentes de zero.

Morfismo formalmente suave Pode-se definir suavidade sem referência à geometria. Dizemos que um -esquema é formalmente suave se, para qualquer -esquema afim e um subesquema de dado por um ideal nilpotente, for sobrejetiva, onde escrevemos . Então, um morfismo localmente de apresentação finita é suave se e somente se for formalmente suave.

Na definição de "formalmente suave", se substituirmos sobrejetiva por "bijetiva" (resp. "injetiva"), obtemos a definição de formalmente étale (resp. formalmente não ramificado).

Mudança de base suave Seja um esquema e denote a imagem do mapeamento de estrutura . O teorema da mudança de base suave afirma o seguinte: seja um morfismo quase-compacto, um morfismo suave e um feixe de torção em . Se para todo em , for injetivo, então o morfismo de mudança de base é um isomorfismo.

Ver também

Álgebra suave Imersão regular

Referências

J. S. Milne (2012). "Lectures on Étale Cohomology" J. S. Milne. Étale cohomology, volume 33 of Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1980.