300x300px|thumb Em matemática, as funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas comuns, mas definidas usando a hipérbole em vez do círculo. Assim como os pontos formam um círculo com raio unitário, os pontos formam a metade direita da hipérbole unitária. Além disso, similarmente a como as derivadas de e são e respectivamente, as derivadas de e são e respectivamente.
As funções hiperbólicas são usadas para expressar o ângulo de paralelismo na geometria hiperbólica. São usadas para expressar boosts de Lorentz como rotações hiperbólicas na relatividade restrita. Também ocorrem nas soluções de muitas equações diferenciais lineares (como a equação que define uma catenária), equações cúbicas e a equação de Laplace em coordenadas cartesianas. As equações de Laplace são importantes em muitas áreas da física, incluindo a teoria eletromagnética, transferência de calor e dinâmica dos fluidos.
As funções hiperbólicas básicas são: seno hiperbólico "" (),(1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, , p. 1386 cosseno hiperbólico "" (),Collins Concise Dictionary, p. 328 a partir das quais são derivadas: tangente hiperbólica "" (),Collins Concise Dictionary, p. 1520 cotangente hiperbólica "" (),Collins Concise Dictionary, p. 329tanh secante hiperbólica "" (),Collins Concise Dictionary, p. 1340 cossecante hiperbólica "" ou "" () correspondentes às funções trigonométricas derivadas.
As funções hiperbólicas inversas são: arco seno hiperbólico "" (também denotado "", "" ou às vezes "")Some examples of using arcsinh found in Google Books. arco cosseno hiperbólico "" (também denotado "", "" ou às vezes "") arco tangente hiperbólica "" (também denotado "", "" ou às vezes "") arco cotangente hiperbólica "" (também denotado "", "" ou às vezes "") arco secante hiperbólica "" (também denotado "", "" ou às vezes "") arco cossecante hiperbólica "" (também denotado "", "", "", "", "", ou às vezes "" ou "") thumb|upright=1.4|Um raio através da hipérbole unitária no ponto , onde é o dobro da área entre o raio, a hipérbole e o eixo . Para pontos na hipérbole abaixo do eixo , a área é considerada negativa (veja a versão animada com comparação com as funções trigonométricas (circulares)).
As funções hiperbólicas tomam um argumento chamado ângulo hiperbólico. A magnitude de um ângulo hiperbólico é a área de seu setor hiperbólico em relação a . As funções hiperbólicas podem ser definidas em termos dos catetos de um triângulo retângulo que cobre esse setor.
Em análise complexa, as funções hiperbólicas surgem quando se aplicam as funções seno e cosseno comuns a um ângulo imaginário. O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são funções inteiras. Como resultado, as outras funções hiperbólicas são meromorfas em todo o plano complexo.
Pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, as funções hiperbólicas têm um valor transcendente para todo valor algébrico não nulo do argumento.
História O primeiro cálculo conhecido de um problema de trigonometria hiperbólica é atribuído a Gerardus Mercator ao publicar a projeção cartográfica de Mercator por volta de 1566. Isso exigia a tabulação de soluções para uma equação transcendente envolvendo funções hiperbólicas.
O primeiro a sugerir uma semelhança entre o setor do círculo e o da hipérbole foi Isaac Newton em seu Principia Mathematica de 1687.
Roger Cotes sugeriu modificar as funções trigonométricas usando a unidade imaginária para obter um esferoide oblato a partir de um prolato.
As funções hiperbólicas foram formalmente introduzidas em 1757 por Vincenzo Riccati. Riccati usou e () para se referir às funções circulares e e () para se referir às funções hiperbólicas. Já em 1759, Daviet de Foncenex mostrou a intercambialidade das funções trigonométricas e hiperbólicas usando a unidade imaginária e estendeu a fórmula de de Moivre para funções hiperbólicas.
Durante a década de 1760, Johann Heinrich Lambert sistematizou o uso das funções e forneceu expressões exponenciais em várias publicações.Bradley, Robert E.; D'Antonio, Lawrence A.; Sandifer, Charles Edward. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100. Lambert creditou Riccati pela terminologia e nomes das funções, mas alterou as abreviações para as usadas atualmente.Becker, Georg F. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
Notação
Definições thumb|right|250px|Triângulos retângulos com catetos proporcionais a sinh e cosh Com o ângulo hiperbólico u, as funções hiperbólicas sinh e cosh podem ser definidas com a função exponencial eu. Na figura .
Definições exponenciais thumb|right| é metade da diferença de e thumb|right| é a média de e
Seno hiperbólico: a parte ímpar da função exponencial, isto é, Cosseno hiperbólico: a parte par da função exponencial, isto é, thumb|sinh, cosh e tanh thumb|csch, sech e coth Tangente hiperbólica: Cotangente hiperbólica: para , Secante hiperbólica: Cossecante hiperbólica: para ,
Definições por equações diferenciais
As funções hiperbólicas podem ser definidas como soluções de equações diferenciais: o seno e o cosseno hiperbólicos são a solução do sistema
com as condições iniciais As condições iniciais tornam a solução única; sem elas, qualquer par de funções seria uma solução.
e são também a solução única da equação , tal que , para o cosseno hiperbólico, e , para o seno hiperbólico.
Definições trigonométricas complexas
As funções hiperbólicas também podem ser deduzidas a partir de funções trigonométricas com argumentos complexos:
Seno hiperbólico: Cosseno hiperbólico: Tangente hiperbólica: Cotangente hiperbólica: Secante hiperbólica: Cossecante hiperbólica: onde é a unidade imaginária com .
As definições acima estão relacionadas às definições exponenciais via fórmula de Euler (veja a seção abaixo).
Propriedades características
Cosseno hiperbólico
Pode-se mostrar que a área sob a curva do cosseno hiperbólico (sobre um intervalo finito) é sempre igual ao comprimento de arco correspondente a esse intervalo:
Tangente hiperbólica
A tangente hiperbólica é a solução (única) da equação diferencial , com . Extract of page 281 (using lambda=1) Extract of page 290
Relações úteis
As funções hiperbólicas satisfazem muitas identidades, todas semelhantes em forma às identidades trigonométricas. De fato, a regra de Osborn (em homenagem a George Osborn) afirma que se pode converter qualquer identidade trigonométrica (até, mas não incluindo, sinhs ou sinhs implícitos de quarto grau) para , , ou e em uma identidade hiperbólica, por: expandindo-a completamente em potências integrais de senos e cossenos, mudando seno para sinh e cosseno para cosh, e trocando o sinal de cada termo contendo um produto de dois sinhs.
Funções ímpares e pares:
Recíprocas:
Análogas à fórmula de Euler:
Análogas à identidade trigonométrica pitagórica:
Somas e diferenças de argumentos
particularmente
Fórmulas de adição e subtração
Fórmulas de produto
Fórmulas de meio argumento
onde é a função sinal.
Se , então
Fórmulas de meio argumento da tangente Quando ,
Fórmulas de quadrado
Desigualdades
A seguinte desigualdade é útil em estatística:
Pode ser provada comparando as séries de Taylor das duas funções termo a termo.
Funções inversas como logaritmos
Derivadas
Segundas derivadas Cada uma das funções e é igual à sua segunda derivada, isto é:
Todas as funções com esta propriedade são combinações lineares de e , em particular as funções exponenciais e .
Integrais padrão
As seguintes integrais podem ser provadas usando substituição hiperbólica:
onde C é a constante de integração.
Expressões em série de Taylor É possível expressar explicitamente a série de Taylor em zero (ou a série de Laurent, se a função não for definida em zero) das funções acima.
Esta série é convergente para todo valor complexo de . Como a função é ímpar, apenas expoentes ímpares de ocorrem em sua série de Taylor.
Esta série é convergente para todo valor complexo de . Como a função é par, apenas expoentes pares de ocorrem em sua série de Taylor.
A soma das séries de sinh e cosh é a expressão em série infinita da função exponencial.
As seguintes séries são seguidas por uma descrição de um subconjunto de seu domínio de convergência, onde a série é convergente e sua soma é igual à função.
onde: é o n-ésimo número de Bernoulli é o n-ésimo número de Euler
Produtos infinitos e frações contínuas As seguintes expansões são válidas em todo o plano complexo:
Comparação com funções circulares
right|upright=1.2|thumb|Círculo e hipérbole tangentes em exibem a geometria das funções circulares em termos da área do setor circular e das funções hiperbólicas dependendo da área do setor hiperbólico . As funções hiperbólicas representam uma expansão da trigonometria além das funções circulares. Ambos os tipos dependem de um argumento, seja ângulo circular ou ângulo hiperbólico.
Como a área de um setor circular com raio e ângulo (em radianos) é , será igual a quando . No diagrama, tal círculo é tangente à hipérbole em . O setor amarelo representa uma área e magnitude angular. Da mesma forma, as regiões amarela e vermelha juntas representam um setor hiperbólico com área correspondente à magnitude do ângulo hiperbólico.
Os catetos dos dois triângulos retângulos com a hipotenusa no raio que define os ângulos têm comprimento vezes as funções circulares e hiperbólicas.
O ângulo hiperbólico é uma medida invariante em relação ao mapeamento de contração, assim como o ângulo circular é invariante sob rotação.Haskell, Mellen W., "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1:6:155–9, full text
A função de Gudermann fornece uma relação direta entre as funções circulares e as funções hiperbólicas que não envolve números complexos.
O gráfico da função é a catenária, a curva formada por uma corrente flexível uniforme, pendurada livremente entre dois pontos fixos sob gravidade uniforme.
Relação com a função exponencial
A decomposição da função exponencial em suas partes par e ímpar fornece as identidadeseCombinada com a fórmula de Euler isto fornece para a função exponencial complexa geral.
Além disso,
Funções hiperbólicas para números complexos + Funções hiperbólicas no plano complexo1000x140px|nenhum1000x140px|nenhum1000x140px|nenhum1000x140px|nenhum1000x140px|nenhum1000x140px|nenhum Como a função exponencial pode ser definida para qualquer argumento complexo, podemos também estender as definições das funções hiperbólicas para argumentos complexos. As funções e são então holomorfas.
As relações com as funções trigonométricas comuns são dadas pela fórmula de Euler para números complexos:assim:
Assim, as funções hiperbólicas são periódicas em relação à componente imaginária, com período ( para a tangente e cotangente hiperbólicas).
Ver também Catenária, o gráfico da função . e (constante matemática) Teorema dos círculos inscritos iguais, baseado em sinh Funções hiperbolásticas Crescimento hiperbólico Funções hiperbólicas inversas Lista de integrais de funções hiperbólicas Espirais de Poinsot Função sigmoide Funções trigonométricas
Referências
Ligações externas
Hyperbolic functions no PlanetMath GonioLab: Visualização do círculo unitário, funções trigonométricas e hiperbólicas (Java Web Start) Web-based calculator of hyperbolic functions
Hiperbolica Categoria:Trigonometria