Em matemática, os polinômios ortogonais no círculo unitário são famílias de polinômios que são ortogonais em relação à integração sobre o círculo unitário no plano complexo, para alguma medida de probabilidade no círculo unitário. Eles foram introduzidos por .

Definição

Seja uma medida de probabilidade no círculo unitário e suponha que seja não trivial, isto é, que seu suporte seja um conjunto infinito. Por uma combinação dos teoremas de Radon-Nikodym e de decomposição de Lebesgue, qualquer medida desse tipo pode ser decomposta unicamente em , onde é singular em relação a e com sendo a parte absolutamente contínua de .

Os polinômios ortogonais associados a são definidos como , tais que .

A recorrência de Szegő

Os polinômios ortogonais mônicos de Szegő satisfazem uma relação de recorrência da forma

para e condição inicial , com

e constantes no disco unitário aberto dadas por

chamadas de coeficientes de Verblunsky. Além disso, . O teorema de Geronimus afirma que os coeficientes de Verblunsky associados a são os parâmetros de Schur:

Teorema de Verblunsky

O teorema de Verblunsky afirma que para qualquer sequência de números em existe uma única medida de probabilidade não trivial em com .

Teorema de Baxter

O teorema de Baxter afirma que os coeficientes de Verblunsky formam uma série absolutamente convergente se e somente se os momentos de formam uma série absolutamente convergente e a função peso é estritamente positiva em toda parte.

Teorema de Szegő Para qualquer medida de probabilidade não trivial em , a forma de Verblunsky dos teoremas limites de Szegő afirma que

O lado esquerdo é independente de mas, ao contrário da versão original de Szegő, onde , a forma de Verblunsky permite . Subsequentemente, . Uma das consequências é a existência de um espectro misto para operadores de Schrödinger discretizados.

Teorema de Rakhmanov

O teorema de Rakhmanov afirma que se a parte absolutamente contínua da medida for positiva em quase toda parte, então os coeficientes de Verblunsky tendem a 0.

Exemplos

Os Polinômios de Rogers-Szegő são um exemplo de polinômios ortogonais no círculo unitário.

Ver também Problema do momento trigonométrico Classe de Schur

Notas

Referências

Categoria:Polinômios ortogonais