Em topologia algébrica e teoria da homologia, a sequência de Mayer-Vietoris é uma ferramenta algébrica que ajuda a calcular invariantes algébricos de espaços topológicos. O resultado deve-se a dois matemáticos austríacos, Walther Mayer e Leopold Vietoris. O método consiste em dividir um espaço em subespaços, para os quais os grupos de homologia ou coomologia podem ser mais fáceis de calcular. A sequência relaciona os grupos de (co)homologia do espaço aos grupos de (co)homologia dos subespaços. Trata-se de uma sequência exata longa e natural, cujas entradas são os grupos de (co)homologia de todo o espaço, a soma direta dos grupos de (co)homologia dos subespaços e os grupos de (co)homologia da interseção dos subespaços.
A sequência de Mayer-Vietoris é válida para uma variedade de teorias de coomologia e homologia, incluindo a homologia simplicial e a coomologia singular. Em geral, a sequência é válida para as teorias que satisfazem os Axiomas de Eilenberg-Steenrod, e possui variações tanto para a (co)homologia reduzida quanto para a relativa. Como a (co)homologia da maioria dos espaços não pode ser calculada diretamente a partir de suas definições, utilizam-se ferramentas como a sequência de Mayer-Vietoris na esperança de obter informações parciais. Muitos espaços encontrados na topologia são construídos a partir da união de partes muito simples. Escolher cuidadosamente dois subespaços de cobertura para que, juntamente com sua interseção, eles possuam uma (co)homologia mais simples do que a de todo o espaço pode permitir uma dedução completa da (co)homologia do espaço. A esse respeito, a sequência de Mayer-Vietoris é análoga ao Teorema de Seifert-van Kampen para o grupo fundamental, e existe uma relação precisa para a homologia de dimensão um.
Contexto, motivação e história De forma semelhante ao grupo fundamental ou aos grupos de homotopia superiores de um espaço, os grupos de homologia são importantes invariantes topológicos. Embora algumas teorias de (co)homologia sejam computáveis usando ferramentas de álgebra linear, muitas outras teorias importantes de (co)homologia, especialmente a (co)homologia singular, não são computáveis diretamente de sua definição para espaços não triviais. Para a (co)homologia singular, os grupos de (co)cadeias e (co)ciclos singulares são frequentemente grandes demais para serem manipulados diretamente. Abordagens mais sutis e indiretas tornam-se necessárias. A sequência de Mayer-Vietoris é uma dessas abordagens, fornecendo informações parciais sobre os grupos de (co)homologia de qualquer espaço, relacionando-o aos grupos de (co)homologia de dois de seus subespaços e de sua interseção. Veja Versões básicas para a homologia singular.
A maneira mais natural e conveniente de expressar a relação envolve o conceito algébrico de sequências exatas: sequências de objetos (neste caso, grupos) e morfismos (neste caso, homomorfismos de grupos) entre eles de tal modo que a imagem de um morfismo seja igual ao núcleo do seguinte. Em geral, isso não permite que os grupos de (co)homologia de um espaço sejam completamente calculados. No entanto, como muitos espaços importantes encontrados na topologia são variedades topológicas, complexos simpliciais ou complexos CW, que são construídos juntando partes muito simples, um teorema como o de Mayer e Vietoris é potencialmente de aplicabilidade ampla e profunda.
Walther Mayer foi introduzido à topologia pelo seu colega Leopold Vietoris ao assistir às suas aulas em 1926 e 1927 em uma universidade local em Viena. Ele foi informado sobre o resultado conjecturado e um caminho para sua solução, e resolveu a questão para os números de Betti em 1929. Ele aplicou os seus resultados ao toro considerado como a união de dois cilindros. Mais tarde, Vietoris provou o resultado completo para os grupos de homologia em 1930, mas não o expressou como uma sequência exata. O conceito de uma sequência exata só apareceu impresso no livro de 1952 Foundations of Algebraic Topology de Samuel Eilenberg e Norman Steenrod, onde os resultados de Mayer e Vietoris foram expressos em sua forma moderna.
Versões básicas para a homologia singular Seja um espaço topológico e sejam , dois subespaços cujos interiores cobrem . (Os interiores de e não precisam ser disjuntos.) A sequência de Mayer-Vietoris em homologia singular para a tríade é uma sequência exata longa relacionando os grupos de homologia singular (com o grupo de coeficientes sendo os números inteiros ) dos espaços , , , e da interseção . Há uma versão não reduzida e uma reduzida.
Versão não reduzida Para a homologia não reduzida, a sequência de Mayer-Vietoris afirma que a seguinte sequência é exata:
Aqui e são aplicações de inclusão e denota a soma direta de grupos abelianos.
Mapa de bordo miniatura|280px|direita|Ilustração do mapa de bordo ∂* no toro onde o 1-ciclo é a soma de duas 1-cadeias cujo bordo está na interseção de e
Os mapas de bordo que diminuem a dimensão podem ser definidos da seguinte forma. Um elemento em é a classe de homologia de um -ciclo que, por subdivisão baricêntrica por exemplo, pode ser escrito como a soma de duas -cadeias e cujas imagens encontram-se inteiramente em e , respectivamente. Desta forma, . Como é um ciclo, , logo . Isso implica que as imagens de ambos esses bordos, que são -ciclos, estão contidas na interseção . Então, pode ser definido como a classe de em . Escolher outra decomposição não afeta , uma vez que , o que implica que , e portanto e estão na mesma classe de homologia; nem a escolha de um representante diferente afeta, pois nesse caso para algum em . Note que os mapas na sequência de Mayer-Vietoris dependem da escolha de uma ordem para e . Em particular, o mapa de bordo muda de sinal se e forem trocados.
Versão reduzida Para a homologia reduzida também existe uma sequência de Mayer-Vietoris, sob a premissa de que e possuem interseção não vazia. A sequência é idêntica para dimensões positivas e termina como:
Analogia com o teorema de Seifert-van Kampen Há uma analogia entre a sequência de Mayer-Vietoris (especialmente para grupos de homologia de dimensão 1) e o Teorema de Seifert-van Kampen. Sempre que for conexo por caminhos, a sequência reduzida de Mayer-Vietoris produz o isomorfismo
onde, pela exatidão,
Isto é precisamente a afirmação abelianizada do teorema de Seifert-van Kampen. Compare com o fato de que é a abelianização do grupo fundamental quando é conexo por caminhos.
Aplicações básicas
k-esfera miniatura|250px|direita|A decomposição para Para calcular completamente a homologia da esfera de dimensão (-esfera) , sejam e dois hemisférios de com interseção homotopicamente equivalente a uma esfera equatorial de dimensão . Como os hemisférios -dimensionais são homeomorfos a -discos, que são contráteis, os grupos de homologia de e são triviais. A sequência de Mayer-Vietoris para grupos de homologia reduzida fornece, então:
A exatidão implica imediatamente que o mapa é um isomorfismo. Usando a homologia reduzida da 0-esfera (dois pontos) como um caso base, segue que
onde é o delta de Kronecker. Uma compreensão tão completa dos grupos de homologia para esferas contrasta fortemente com o conhecimento atual sobre os grupos de homotopia das esferas, especialmente para o caso , sobre o qual pouco se sabe.
Garrafa de Klein miniatura|200px|direita|A garrafa de Klein (polígono fundamental com as identificações de arestas apropriadas) decomposta como duas faixas de Möbius (em azul) e (em vermelho). Uma aplicação um pouco mais difícil da sequência de Mayer-Vietoris é o cálculo dos grupos de homologia da garrafa de Klein . Usa-se a decomposição de como a união de duas faixas de Möbius e coladas ao longo do seu círculo de bordo (ver ilustração à direita). Então , e sua interseção são homotopicamente equivalentes a círculos, então a parte não trivial da sequência resulta em
e a parte trivial implica homologia nula para dimensões maiores que 2. O mapa central envia para uma vez que o círculo de bordo de uma banda de Möbius dá duas voltas ao redor do círculo central. Em particular, é injetiva, então a homologia de dimensão 2 também se anula. Finalmente, escolhendo e como base para , segue que:
Somas em cunha direita|400px|miniatura|Esta decomposição da soma em cunha de duas 2-esferas e fornece todos os grupos de homologia de . Para este caso específico, usando o resultado da seção da k-esfera para 2-esferas, tem-se Seja a soma em cunha de dois espaços e , e suponha ainda que o ponto-base identificado seja um retrato por deformação das vizinhanças abertas e . Sendo e , segue-se que e , o qual é contrátil por construção. A versão reduzida da sequência então fornece (pela exatidão)
para todas as dimensões .
Suspensões direita|500px|miniatura|Esta decomposição da suspensão da 0-esfera fornece todos os grupos de homologia de . A ilustração mostra a 1-esfera como a suspensão da 0-esfera . Notando de maneira geral que a -esfera é a suspensão da -esfera, é possível derivar os grupos de homologia da -esfera por indução, veja k-esfera. Se é a suspensão de um espaço , sejam e os complementos em dos 'vértices' superior e inferior do cone duplo, respectivamente. Então é a união , sendo e contráteis. Além disso, a interseção é homotopicamente equivalente a . Consequentemente, a sequência de Mayer-Vietoris fornece, para todo ,
Discussões adicionais
Forma relativa Existe também uma forma relativa da sequência de Mayer-Vietoris. Se for a união dos interiores de e , então a sequência exata é:
Naturalidade Os grupos de homologia são naturais no sentido de que, se for uma função contínua, então haverá um mapa canônico de pushforward (ou avanço) de grupos de homologia tal que a composição de pushforwards é o pushforward de uma composição: isto é, A sequência de Mayer-Vietoris também é natural no sentido de que se
então o morfismo de conexão da sequência de Mayer-Vietoris, , comuta com . Isso significa que o seguinte diagrama comuta (os mapas horizontais são os usuais):
Versões coomológicas A sequência exata longa de Mayer-Vietoris para os grupos de coomologia singular com grupo de coeficientes G é dual à versão homológica. É a seguinte:
onde os mapas que preservam a dimensão são mapas de restrição induzidos por inclusões, e os mapas de (co)bordo são definidos de forma semelhante à versão homológica. Também existe uma formulação relativa.
Como um caso especial importante quando é o grupo dos números reais, e o espaço topológico subjacente tem a estrutura adicional de uma variedade suave, a sequência de Mayer-Vietoris para a coomologia de de Rham é
onde é uma cobertura aberta de , denota a aplicação de restrição, e é a diferença. O mapa é definido de modo semelhante ao mapa visto anteriormente. Ele pode ser descrito de forma breve da seguinte maneira: para uma classe de coomologia representada por uma forma fechada em , expressa-se como a diferença das formas através de uma partição da unidade subordinada à cobertura aberta , por exemplo. A derivada exterior e concordam em e, assim, juntas definem uma forma em . Tem-se então que .
Para a coomologia de de Rham com suportes compactos, existe uma versão "invertida" da sequência acima:
onde ,, são como definidos acima, é o mapa de inclusão com sinal , sendo que estende uma forma com suporte compacto para uma forma em estendendo por zero, e é a soma.
Derivação Considere a sequência exata longa associada às sequências exatas curtas de grupos de cadeias (grupos que compõem os complexos de cadeias)
onde , , e é o grupo de cadeias que consiste nas somas de cadeias em e cadeias em . É um fato que os -simplexos singulares de cujas imagens estão contidas quer em ou quer em geram todos os elementos do grupo de homologia . Em outras palavras, é isomorfo a . Isso fornece a sequência de Mayer-Vietoris para a homologia singular.
O mesmo cálculo, quando aplicado às sequências exatas curtas de espaços vetoriais de formas diferenciais