A fração contínua de Rogers-Ramanujan é uma fração contínua descoberta por e independentemente por Srinivasa Ramanujan, e intimamente relacionada com as identidades de Rogers-Ramanujan. Pode ser avaliada explicitamente para uma ampla classe de valores de seu argumento. right|thumb|Representação por coloração de domínio do convergente da função , onde é a fração contínua de Rogers-Ramanujan.
Definição right|thumb|Representação da aproximação da fração contínua de Rogers-Ramanujan.
Dadas as funções e que aparecem nas identidades de Rogers-Ramanujan, e assumindo que ,
e,
sendo os coeficientes da expansão em q a sequência e , respectivamente, onde denota o símbolo q-Pochhammer infinito, j é a função j, e 2F1 é a função hipergeométrica. A fração contínua de Rogers-Ramanujan é então
é o símbolo de Jacobi.
Deve-se ter cuidado com a notação, pois as fórmulas que empregam a função j só serão consistentes com as outras fórmulas se (o quadrado do nomo) for usado ao longo desta seção, uma vez que a expansão em q da função j (assim como a bem conhecida função eta de Dedekind) usa . No entanto, Ramanujan, em seus exemplos para Hardy e dados abaixo, usou o nomo em vez disso.
Valores especiais Se q for o nomo ou o seu quadrado, então e , bem como o seu quociente , estão relacionados a funções modulares de . Dado que têm coeficientes inteiros, a teoria da multiplicação complexa implica que os seus valores para envolvendo um corpo quadrático imaginário são números algébricos que podem ser avaliados explicitamente.
Exemplos de R(q)
Dada a forma geral em que Ramanujan usou o nomo ,
f quando ,
quando ,
quando ,
quando ,
quando ,
quando ,
quando ,
e é a proporção áurea. Note que é uma raiz positiva da equação quártica,
enquanto e são duas raízes positivas de uma única equação óctica,
(uma vez que tem uma raiz quadrada) o que explica a similaridade das duas formas fechadas. De modo mais geral, para um inteiro positivo m, então e são duas raízes da mesma equação assim como,
O grau algébrico k de para é ().
A propósito, essas frações contínuas podem ser usadas para resolver algumas equações quínticas como mostrado em uma seção posterior.
Exemplos de G(q) e H(q)
Curiosamente, existem fórmulas explícitas para e em termos da função j e da fração contínua de Rogers-Ramanujan . Contudo, uma vez que usa o quadrado do nomo , então deve-se ter cuidado com a notação de forma que e usem o mesmo .
É claro que as fórmulas secundárias implicam que e são números algébricos (embora normalmente de alto grau) para envolvendo um corpo quadrático imaginário. Por exemplo, as fórmulas acima simplificam-se para,
e,
e assim por diante, com sendo a proporção áurea.
Derivação de valores especiais
Somas tangenciais
No que se segue, expressamos os teoremas essenciais das frações contínuas de Rogers-Ramanujan R e S usando as somas tangenciais e diferenças tangenciais:
O nomo elíptico e o nomo complementar têm esta relação entre si:
O nomo complementar de um módulo k é igual ao nomo do módulo complementar pitagórico:
Estes são os teoremas de reflexão para as frações contínuas R e S:
A letra representa o número de ouro exatamente:
Os teoremas para o nomo ao quadrado são construídos da seguinte forma:
As seguintes relações entre as frações contínuas e as funções teta de Jacobi são dadas:
Derivação de valores lemniscáticos
Aos teoremas agora mostrados, certos valores são inseridos:
Portanto, a seguinte identidade é válida:
Em um padrão análogo obtemos este resultado:
Portanto, a seguinte identidade é válida:
Além disso, obtemos a mesma relação usando o teorema mencionado acima sobre as funções teta de Jacobi:
Este resultado aparece devido à fórmula de somatório de Poisson e esta equação pode ser resolvida desta forma:
Ao considerar o outro teorema mencionado sobre as funções teta de Jacobi, um próximo valor pode ser determinado:
Essa cadeia de equações leva a esta soma tangencial:
E assim surge o seguinte resultado:
No próximo passo usamos o teorema de reflexão para a fração contínua R novamente:
E um resultado adicional aparece:
Derivação de valores não lemniscáticos
O teorema de reflexão é agora usado para os seguintes valores:
O teorema teta de Jacobi leva a uma relação adicional:
Pela adição tangencial dos dois teoremas mencionados agora, obtemos este resultado:
Pela subtração tangencial, esse resultado aparece:
Num caminho de solução alternativo, usamos o teorema para o nomo ao quadrado:
Agora o teorema de reflexão é tomado novamente:
A inserção da última expressão mencionada no teorema do nomo ao quadrado dá essa equação:
Eliminar os denominadores dá uma equação do sexto grau:
A solução desta equação é a solução já mencionada:
Relação com formas modulares
pode ser relacionada à função eta de Dedekind, uma forma modular de peso 1/2, como,Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions", https://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
A fração contínua de Rogers-Ramanujan também pode ser expressa em termos das funções teta de Jacobi. Recorde a notação,
A notação é um pouco mais fácil de lembrar uma vez que , com subscritos pares do lado esquerdo. Assim,
Note, contudo, que as funções teta normalmente usam o nomo , enquanto a função eta de Dedekind usa o quadrado do nomo , desta forma a variável x tem sido empregue em vez disso para manter a consistência entre todas as funções. Por exemplo, seja então . Inserindo isto nas funções teta, obtém-se o mesmo valor para todas as três fórmulas R(x) que é a avaliação correta da fração contínua dada anteriormente,
Também se pode definir o nomo elíptico,
A letra minúscula k descreve o módulo elíptico e a letra maiúscula K descreve a integral elíptica completa do primeiro tipo. A fração contínua pode então ser também expressa pelas funções elípticas de Jacobi como se segue:
com
Relação com a função j
Uma fórmula envolvendo a função j e a função eta de Dedekind é esta:
onde Uma vez que também,
Eliminando o quociente eta entre as duas equações, pode-se então expressar j(τ) em termos de como,
onde o numerador e o denominador são polinômios invariantes do icosaedro. Usando a equação modular entre e , conclui-se que,
Seja , então
onde
o que de fato é a j-invariante da curva elíptica,
parametrizada pelos pontos não-cúspide da curva modular .
Equação funcional
Por conveniência, também pode-se usar a notação quando q = e2πiτ. Embora outras funções modulares, como a j-invariante, satisfaçam,
e a função eta de Dedekind possua,
a equação funcional da fração contínua de Rogers-Ramanujan envolveDuke, W. "Continued Fractions and Modular Functions" (p.9) a proporção áurea ,
A propósito,
Equações modulares
Existem equações modulares entre e . Algumas equações elegantes para números primos n pequenos são as seguintes.Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction", http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/rrcf.pdf
Para , seja e , então
Para , seja e , então
Para , seja e , então
Ou equivalentemente para , seja e e , então
Para , seja e , então
Em relação a , observe que
Outros resultados
Ramanujan encontrou muitos outros resultados interessantes sobre .Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction" Sejam , e como a proporção áurea.
Se então,
Se então,
As potências de também podem ser expressas de maneiras não usuais. Para seu cubo,
onde
Para sua quinta potência, seja , então,
Equações quínticas
A equação quíntica geral na forma de Bring-Jerrard:
para todo valor real pode ser resolvida em termos da fração contínua de Rogers-Ramanujan e do nomo elíptico
Para resolver esta equação quíntica, o módulo elíptico deve primeiro ser determinado como
Então, a solução real é
onde . Lembre-se, na seção anterior, que a quinta potência de pode ser expressa por :
Exemplo 1
Transforma-se em,
assim,
e a solução é:
e não pode ser representada por expressões com raízes elementares.
Exemplo 2
assim,
Dadas as frações contínuas mais conhecidas com formas fechadas,
com a proporção áurea e a solução simplifica-se para
Bibliografia
Ligações externas
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