Em matemática, especificamente na álgebra comutativa, um ideal próprio de um anel comutativo é dito ser primário se, sempre que for um elemento de , então ou também é um elemento de , para algum . Por exemplo, no anel dos números inteiros , é um ideal primário se for um número primo.
A noção de ideais primários é importante na teoria dos anéis comutativos porque todo ideal de um anel noetheriano tem uma decomposição primária, isto é, pode ser escrito como uma interseção de um número finito de ideais primários. Esse resultado é conhecido como o teorema de Lasker-Noether. Consequentemente,Para ser preciso, geralmente usa-se esse fato para provar o teorema. um ideal irredutível de um anel noetheriano é primário.
Existem vários métodos para generalizar ideais primários para anéis não comutativos,Veja as referências para Chatters-Hajarnavis, Goldman, Gorton-Heatherly e Lesieur-Croisot. mas o tópico é estudado com mais frequência para anéis comutativos. Portanto, supõe-se que os anéis neste artigo sejam anéis comutativos com identidade.
Exemplos e propriedades
A definição pode ser reformulada de uma maneira aparentemente mais simétrica: um ideal próprio é primário se, sempre que , ou são elementos de , ou tanto quanto estão em , o radical de ; ou seja, Um ideal próprio de é primário se e somente se todo divisor de zero em é nilpotente. (Compare isso com o caso de ideais primos, onde é primo se e somente se todo divisor de zero em é na verdade zero). Qualquer ideal primo é primário, e além disso um ideal é primo se e somente se é primário e semiprimo (também chamado de ideal radical no caso comutativo). Todo ideal primário é primal.Para a demonstração da segunda parte, veja o artigo de Fuchs. Se é um ideal primário, então o radical de é necessariamente um ideal primo , e este ideal é chamado de ideal primo associado de . Nesta situação, diz-se que é -primário. Por outro lado, um ideal cujo radical é primo não é necessariamente primário: por exemplo, se , , e , então é primo e , mas temos , , e para todo , então não é primário. A decomposição primária de é ; aqui é -primário e é -primário. Um ideal cujo radical é maximal, no entanto, é primário. Todo ideal com radical está contido em um menor ideal -primário: todos os elementos tais que para algum . O menor ideal -primário contendo é chamado de -ésima potência simbólica de . Se é um ideal primo maximal, então qualquer ideal cujo radical é é -primário (e vice-versa). Em particular, uma potência de ou um ideal contendo uma potência de é -primário. Mas um ideal -primário não precisa ser uma potência de e não precisa conter uma potência de ; por exemplo, o ideal é -primário para o ideal no anel , mas não é uma potência de ; no entanto, ele contém . Se é um anel noetheriano e um ideal primo, então o núcleo de , o mapa de para a localização de em , é a interseção de todos os ideais -primários.Atiyah–Macdonald, Corollary 10.21 Se é maximal, um produto finito não vazio de ideais -primários é -primário, mas um produto infinito de ideais -primários pode não ser -primário; pois, por exemplo, em um anel local noetheriano com ideal maximal , (teorema da interseção de Krull), onde cada é -primário. Por exemplo, o produto infinito do ideal maximal (e, portanto, primo e, portanto, primário) do anel local resulta no ideal nulo, que neste caso não é primário (porque o divisor de zero não é nilpotente). De fato, em um anel noetheriano, um produto não vazio de ideais -primários é -primário se e somente se existe algum inteiro tal que .
Decomposição de ideais em ideais primários A decomposição primária de ideais pelo teorema de Lasker-Noether pode ser vista como uma generalização do teorema fundamental da aritmética, que se aplica aos inteiros e outros domínios de fatoração única, para anéis noetherianos em geral. Embora a fatoração única de elementos de um anel no produto de elementos irredutíveis (a menos de unidades e reordenação) falhe no caso geral, o teorema de Lasker-Noether afirma que os ideais de um anel noetheriano ainda têm um tipo de "fatoração única": qualquer ideal em um anel noetheriano pode ser escrito como uma interseção de ideais primários do anel em uma decomposição primária, e embora esses ideais primários componentes não sejam necessariamente únicos, os radicais desses componentes, os primos associados do ideal, são únicos a menos de reordenação:
Referências
Bibliografia
On primal ideals, Ladislas Fuchs
Ligações externas Primary ideal no Encyclopaedia of Mathematics
Categoria:Álgebra comutativa Categoria:Ideais (teoria dos anéis)