thumb|A "curva seno do topólogo" é um exemplo clássico de um espaço conexo, mas que não é conexo por caminhos.
Em topologia, um espaço conexo por caminhos (ou espaço conexo por arcos) é um espaço topológico no qual é possível conectar quaisquer dois de seus pontos por um caminho contínuo que esteja inteiramente contido no espaço. Este conceito formaliza a ideia intuitiva de que um espaço é "feito de uma só peça" de tal forma que podemos viajar entre quaisquer dois pontos sem sair do conjunto.
Definição formal Um espaço topológico é dito conexo por caminhos (ou conexo por arcos) se, para quaisquer dois pontos , existe uma função contínua tal que e . A função é chamada de um caminho de a .
Notação e terminologia O caminho também é denotado por para indicar seus pontos inicial e final. Um laço (do inglês loop) é um caminho cujo ponto inicial e final coincidem (). Um espaço é simplesmente conexo se for conexo por caminhos e todo laço puder ser continuamente deformado a um ponto (i.e., tem grupo fundamental trivial).
Exemplos e contraexemplos Espaços conexos por caminhos O espaço euclidiano é conexo por caminhos. Dados , o segmento de reta é um caminho contínuo que os une. Qualquer subconjunto convexo de (como bolas, retângulos, etc.) é conexo por caminhos. O círculo unitário é conexo por caminhos, embora não seja convexo. O caminho pode ser dado por um arco de circunferência. O plano perfurado é conexo por caminhos. O toro é conexo por caminhos.
Espaços conexos que não são conexos por caminhos Um espaço topológico pode ser conexo, mas não ser possível ligar todos os seus pontos por caminhos contínuos. Os exemplos clássicos são:
A curva seno do topólogo: Seja e . O espaço com a topologia induzida de é conexo, mas não é conexo por caminhos. O conjunto é conexo por caminhos e seu fecho inclui , tornando conexo. No entanto, não existe caminho que conecte um ponto de a um ponto de porque a curva oscila infinitamente e a origem é um ponto de acumulação que não pode ser alcançado por um caminho contínuo partindo de .
O espaço pente: Definido por . O "pente" é conexo, mas não é conexo por caminhos (na verdade, o pente "com a origem" é conexo por caminhos, mas o pente sem a origem ou o "pente apagado" são exemplos de espaços conexos que não são conexos por caminhos).
Propriedades Imagem por função contínua: Se é conexo por caminhos e é uma função contínua, então a imagem é conexa por caminhos. Em particular, a conexidade por caminhos é um invariante topológico (preservada por homeomorfismos). Produto cartesiano: O produto cartesiano de uma família de espaços topológicos é conexo por caminhos se, e somente se, cada espaço da família é conexo por caminhos. União: A união de uma coleção de subespaços conexos por caminhos que têm um ponto em comum é conexa por caminhos.
Relação com conexidade
Todo espaço conexo por caminhos é, necessariamente, um espaço conexo. A demonstração é por redução ao absurdo: suponha que é conexo por caminhos e seja uma separação de (abertos disjuntos não vazios cuja união é ). Escolha e e seja um caminho entre e . Como é conexo, sua imagem também deve ser conexa. Mas , e como e , a imagem intersecta ambos e , contradizendo a conexidade da imagem.
A recíproca é falsa: existem espaços conexos que não são conexos por caminhos, como demonstram a curva seno do topólogo e o espaço pente.
Espaços conexos por caminhos
Assim como os espaços conexos são as "maiores partes conexas" de um espaço, podemos definir os espaços conexos por caminhos como as classes de equivalência da relação se existe um caminho em que conecta e . Esta é uma relação de equivalência e cada espaço conexo por caminhos é um subespaço conexo por caminhos. Em geral, os espaços conexos por caminhos são subconjuntos dos espaços conexos.
Espaço localmente conexo por caminhos Um espaço topológico é dito **localmente conexo por caminhos** se cada ponto admite uma base de vizinhanças abertas que são conexas por caminhos. Equivalentemente, para cada aberto contendo , existe um aberto com tal que é conexo por caminhos.
A propriedade de ser localmente conexo por caminhos é importante porque garante que os espaços conexos por caminhos são abertas (e, portanto, também fechadas). Uma consequência fundamental é: Um espaço conexo e localmente conexo por caminhos é conexo por caminhos. Esta é uma ferramenta crucial para provar que certos espaços são conexos por caminhos, como variedades topológicas e complexos CW.
Aplicações Topologia algébrica: O grupo fundamental e os grupos de homotopia superiores são definidos em espaços conexos por caminhos (ou, pelo menos, em seus espaços conexos por caminhos). A escolha de um ponto base em um espaço conexo por caminhos é irrelevante a menos de isomorfismo. Análise matemática: Em espaços métricos conexos por caminhos, a noção de conexidade por caminhos está relacionada à continuidade uniforme e à existência de curvas retificáveis. Geometria diferencial: Geodésicas em variedades conexas por caminhos são usadas para estudar a geometria e a topologia do espaço.
Ver também Espaço conexo Caminho (topologia) Grupo fundamental Homotopia
Bibliografia
Ligações externas
Categoria:Topologia (matemática) Categoria:Topologia algébrica