Na matemática, a métrica de Fubini-Study é uma métrica de Kähler num espaço projetivo complexo CPn dotado de uma forma hermitiana. Esta métrica foi originalmente descrita em 1904 e 1905 por Guido Fubini e Eduard Study.G. Fubini, "Sulle metriche definite da una forma Hermitiana", (1904) Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 63 pp. 501–513
Uma forma hermitiana no (espaço vetorial) Cn+1 define um subgrupo unitário U(n+1) em GL(n+1,C). Uma métrica de Fubini-Study é determinada a menos de uma homotetia (escala global) pela invariância sob tal ação de U(n+1); assim, ela é homogênea. Equipada com uma métrica de Fubini-Study, CPn é um espaço simétrico. A normalização particular da métrica depende da aplicação. Na geometria riemanniana, usa-se uma normalização para que a métrica de Fubini-Study simplesmente se relacione com a métrica padrão na (2n+1)-esfera. Na geometria algébrica, usa-se uma normalização tornando CPn uma variedade de Hodge.
Construção A métrica de Fubini-Study surge naturalmente na construção do espaço quociente do espaço projetivo complexo.
Especificamente, pode-se definir CPn como sendo o espaço constituído por todas as linhas complexas em Cn+1, ou seja, o quociente de Cn+1\{0} pela relação de equivalência que relaciona todos os múltiplos complexos de cada ponto entre si. Isso concorda com o quociente pela ação de grupo diagonal do grupo multiplicativo C* = C \ {0}:
Este quociente realiza Cn+1\{0} como um fibrado de linha complexo sobre o espaço base CPn. (De fato, este é o chamado fibrado tautológico sobre CPn). Um ponto de CPn é, portanto, identificado com uma classe de equivalência de (n+1)-uplas [Z0,...,Zn] módulo redimensionamento complexo não nulo; os Zi são chamados de coordenadas homogêneas do ponto.
Além disso, pode-se realizar este mapeamento quociente em duas etapas: como a multiplicação por um escalar complexo não nulo z = R eiθ pode ser pensada unicamente como a composição de uma dilatação pelo módulo R seguida de uma rotação no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo , o mapeamento quociente Cn+1\{0} → CPn divide-se em duas partes,
onde o passo (a) é um quociente pela dilatação Z ~ RZ para R ∈ R+, o grupo multiplicativo dos números reais positivos, e o passo (b) é um quociente pelas rotações Z ~ eiθZ.
O resultado do quociente em (a) é a hiperesfera real S2n+1 definida pela equação |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1. O quociente em (b) realiza CPn = S2n+1/S1, onde S1 representa o grupo de rotações. Este quociente é realizado explicitamente pela famosa fibração de Hopf S1 → S2n+1 → CPn, cujas fibras estão entre os círculos máximos de .
Como um quociente métrico
Quando se toma um quociente de uma variedade riemanniana (ou espaço métrico em geral), deve-se ter cuidado para garantir que o espaço quociente seja dotado de uma métrica que seja bem definida. Por exemplo, se um grupo G atua sobre uma variedade riemanniana (X,g), então, para que o espaço de órbitas X/G possua uma métrica induzida, deve ser constante ao longo das órbitas de G no sentido de que, para qualquer elemento h ∈ G e par de campos vetoriais , devemos ter g(Xh,Yh) = g(X,Y).
A métrica hermitiana padrão em Cn+1 é dada na base padrão por
cuja realificação é a métrica euclidiana padrão em R2n+2. Esta métrica não é invariante sob a ação diagonal de C*, portanto, não podemos passá-la diretamente para CPn no quociente. No entanto, esta métrica é invariante sob a ação diagonal de S1 = U(1), o grupo de rotações. Portanto, a etapa (b) na construção acima é possível uma vez que a etapa (a) tenha sido concluída.
A métrica de Fubini-Study é a métrica induzida no quociente CPn = S2n+1/S1, onde carrega a chamada "métrica redonda" dotada a ela por restrição da métrica euclidiana padrão à hiperesfera unitária.
Em coordenadas afins locais Correspondente a um ponto em CPn com coordenadas homogêneas , existe um único conjunto de n coordenadas de tal modo que
desde que ; especificamente, . As coordenadas formam um sistema de coordenadas afins para CPn na carta de coordenadas . Pode-se desenvolver um sistema de coordenadas afins em qualquer uma das cartas de coordenadas dividindo, em vez disso, por da maneira óbvia. As n+1 cartas de coordenadas cobrem CPn, e é possível fornecer a métrica explicitamente em termos das coordenadas afins em . As derivadas de coordenadas definem um referencial do fibrado tangente holomorfo de CPn, em termos do qual a métrica de Fubini-Study possui componentes hermitianas
onde |z|2 = |z1|2 + ... + |zn|2. Isto é, a matriz hermitiana da métrica de Fubini-Study neste referencial é
Observe que cada elemento da matriz é invariante por transformações unitárias: a ação diagonal deixará esta matriz inalterada.
Assim sendo, o elemento de linha é dado por
Nesta última expressão, a convenção de somatório é usada para somar sobre os índices latinos i, j que variam de 1 a n.
A métrica pode ser derivada do seguinte potencial de Kähler:
como
Usando coordenadas homogêneas Uma expressão também é possível na notação de coordenadas homogêneas, comumente usada para descrever variedades projetivas em geometria algébrica: Z = [Z0:...:Zn]. Formalmente, sujeita a interpretar adequadamente as expressões envolvidas, tem-se:
Aqui a convenção de somatório é usada para somar sobre os índices gregos α β variando de 0 a n, e na última igualdade é usada a notação padrão para a parte antissimétrica de um tensor:
Ora, esta expressão para ds2 aparentemente define um tensor no espaço total do fibrado tautológico Cn+1\{0}. Ela deve ser compreendida adequadamente como um tensor em CPn puxando-o de volta (pullback) ao longo de uma seção holomorfa σ do fibrado tautológico de CPn. Resta então verificar que o valor do pullback é independente da escolha da seção: isso pode ser feito por um cálculo direto.
A forma de Kähler desta métrica é
onde os são os operadores de Dolbeault.O pullback desta expressão é claramente independente da escolha da seção holomorfa. A quantidade log|Z|2 é o potencial de Kähler (às vezes chamado de escalar de Kähler) de CPn.
Na notação de coordenadas bra-ket Na mecânica quântica, a métrica de Fubini-Study também é conhecida como a métrica de Bures.Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, V. I. Man'ko, Giuseppe Marmo, E. C. G. Sudarshan, Franco Ventriglia "Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics" (2010), Physics Letters A 374 pp. 4801. No entanto, a métrica de Bures é tipicamente definida na notação de estados mistos, enquanto a exposição abaixo é escrita em termos de um estado puro. A parte real da métrica é (um quarto d)a métrica de informação de Fisher.
A métrica de Fubini-Study pode ser escrita usando a notação bra-ket comumente usada na mecânica quântica. Para igualar explicitamente esta notação às coordenadas homogêneas dadas acima, seja
onde é um conjunto de vetores de base ortonormais para o espaço de Hilbert, os são números complexos, e é a notação padrão para um ponto no espaço projetivo CPn em coordenadas homogêneas. Então, dados dois pontos e no espaço, a distância (comprimento de uma geodésica) entre eles é
ou, equivalentemente, na notação de variedade projetiva,
Aqui, é o complexo conjugado de . A presença de no denominador é um lembrete de que e da mesma forma não foram normalizados para um comprimento unitário; assim, a normalização é explicitada aqui. No espaço de Hilbert, a métrica pode ser interpretada como o ângulo entre dois vetores; por isso é ocasionalmente chamada de ângulo quântico. O ângulo tem um valor real e vai de 0 a .
A forma infinitesimal desta métrica pode ser obtida rapidamente tomando , ou equivalentemente, para obter
No contexto da mecânica quântica, CP1 é chamada de esfera de Bloch; a métrica de Fubini-Study é a métrica natural para a geometrização da mecânica quântica. Muito do comportamento peculiar da mecânica quântica, incluindo o emaranhamento quântico e o efeito da fase de Berry, pode ser atribuído às peculiaridades da métrica de Fubini-Study.
O caso n = 1 Quando n = 1, existe um difeomorfismo dado pela projeção estereográfica. Isto leva à fibração "especial" de Hopf S1 → S3 → S2. Quando a métrica de Fubini-Study é escrita em coordenadas em CP1, sua restrição ao fibrado tangente real produz uma expressão da "métrica redonda" comum de raio 1/2 (e curvatura gaussiana 4) em S2.
Ou seja, se z = x + iy for o mapa de coordenadas afins padrão na esfera de Riemann CP1 e x = r cos θ, y = r sin θ forem as coordenadas polares em C, então um cálculo de rotina mostra que
onde é a métrica redonda na 2-esfera unitária. Aqui φ, θ são "coordenadas esféricas de matemáticos" em S2 provenientes da projeção estereográfica r tan(φ/2) = 1, tan θ = y/x. (Muitas referências de física trocam os papéis de φ e θ.)
A forma de Kähler é
Escolhendo como tétrades e , a forma de Kähler se simplifica para
Aplicando a estrela de Hodge à forma de Kähler, obtém-se
implicando que K é uma forma harmônica.
O caso n = 2 A métrica de Fubini-Study no plano projetivo complexo CP2 tem sido proposta como um instanton gravitacional, o análogo gravitacional de um instanton. A métrica, a forma de conexão e a curvatura são facilmente calculadas, uma vez que coordenadas reais adequadas em 4D sejam estabelecidas. Escrevendo para coordenadas cartesianas reais, define-se então as 1-formas de coordenadas polares na 4-esfera (a linha projetiva quaterniônica) como
Os são o referencial de coordenadas padrão de 1-formas invariantes à esquerda no grupo de Lie ; isto é, eles obedecem a para e permutações cíclicas.
As coordenadas afins locais correspondentes são e , que então fornecem
com as abreviaturas habituais de que e .
O elemento de linha, a partir da expressão dada anteriormente, é dado por
As tétrades (vierbeins) podem ser extraídas diretamente da última expressão:
Isto é, no sistema de coordenadas de tétrades, usando subscritos de letras romanas, o tensor métrico é euclidiano:
Dadas as tétrades, uma conexão de spin pode ser computada; a conexão de spin de Levi-Civita é a única conexão que é livre de torção e covariantemente constante, ou seja, é a 1-forma que satisfaz a condição livre de torção
e é covariantemente constante, o que, para conexões de spin, significa que é antissimétrica nos índices da tétrade:
O que foi descrito acima é prontamente resolvido; obtém-se
A 2-forma de curvatura é definida como
e é constante:
O tensor de Ricci em índices de tétrades é dado por
onde a 2-forma de curvatura foi expandida como um tensor de quatro componentes:
O tensor de Ricci resultante é constante
de modo que a equação de Einstein resultante
pode ser resolvida com a constante cosmológica .
O tensor de Weyl para métricas de Fubini-Study em geral é dado por
Para o caso n = 2, as duas-formas
são autoduais:
Propriedades de curvatura No caso especial de n = 1, a métrica de Fubini-Study possui curvatura seccional constante identicamente igual a 4, de acordo com a equivalência com a métrica redonda da 2-esfera (que, dado um raio R, possui curvatura seccional ). No entanto, para n > 1, a métrica de Fubini-Study não possui curvatura constante. Em vez disso, sua curvatura seccional é dada pela equaçãoSakai, T. Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.
onde é uma base ortonormal do 2-plano σ, o mapeamento J : TCPn → TCPn é a estrutura complexa em CPn, e é a métrica de Fubini-Study.
Uma consequência desta fórmula é que a curvatura seccional satisfaz para todos os 2-planos . A curvatura seccional máxima (4) é alcançada num 2-plano holomorfo — um para o qual J(σ) ⊂ σ — enquanto a curvatura seccional mínima (1) é alcançada em um 2-plano para o qual J(σ) é ortogonal a σ. Por este motivo, muitas vezes se diz que a métrica de Fubini-Study possui "curvatura seccional holomorfa constante" igual a 4.