thumb|480px|Matriz de Hadamard ordenada naturalmente (matriz do meio) de ordem 16 que é ordenada por sequência para produzir uma matriz de Walsh (matriz à direita).Ambas contêm as 16 funções de Walsh de ordem 16 como linhas (e colunas).Na matriz à direita, o número de mudanças de sinal por linha é consecutivo.

Em matemática, mais especificamente em análise harmônica, as funções de Walsh formam um conjunto ortogonal completo de funções que podem ser usadas para representar qualquer função discreta — assim como as funções trigonométricas podem ser usadas para representar qualquer função contínua em análise de Fourier.. Elas podem, portanto, ser vistas como um correspondente digital discreto do sistema contínuo e analógico de funções trigonométricas no intervalo unitário. Mas ao contrário das funções seno e cosseno, que são contínuas, as funções de Walsh são constantes por partes. Elas assumem apenas os valores −1 e +1, em subintervalos definidos por frações diádicas.

O sistema de funções de Walsh é conhecido como sistema de Walsh. É uma extensão do sistema de Rademacher de funções ortogonais..

As funções de Walsh, o sistema de Walsh, as séries de Walsh,. e a transformada rápida de Walsh–Hadamard recebem o nome do matemático americano Joseph L. Walsh. Elas encontram várias aplicações em física e engenharia ao analisar sinais digitais.

Historicamente, várias numerações das funções de Walsh foram usadas; nenhuma delas é particularmente superior à outra. Este artigo usa a numeração de Walsh–Paley.

Definição

Definimos a sequência de funções de Walsh , como segue.

Para qualquer número natural k, e número real , seja

o j-ésimo bit na representação binária de k, começando com como o bit menos significativo, e

o j-ésimo bit na representação binária fracionária de , começando com como o bit fracionário mais significativo.

Então, por definição

Em particular, em toda parte no intervalo, uma vez que todos os bits de k são zero.

Observe que é precisamente a função de Rademacher rm. Assim, o sistema de Rademacher é um subsistema do sistema de Walsh. Além disso, toda função de Walsh é um produto de funções de Rademacher:

Comparação entre funções de Walsh e funções trigonométricas

As funções de Walsh e as funções trigonométricas são ambos sistemas que formam um conjunto completo e ortonormal de funções, uma base ortonormal no espaço de Hilbert das funções quadrado integráveis no intervalo unitário. Ambos são sistemas de funções limitadas, ao contrário, por exemplo, do sistema de Haar ou do sistema de Franklin.

Tanto os sistemas trigonométrico quanto de Walsh admitem extensão natural por periodicidade do intervalo unitário para a reta real. Além disso, tanto a análise de Fourier no intervalo unitário (série de Fourier) quanto na reta real (transformada de Fourier) têm seus correspondentes digitais definidos via sistema de Walsh, a série de Walsh análoga à série de Fourier, e a transformada de Hadamard análoga à transformada de Fourier.

Propriedades

O sistema de Walsh é um grupo multiplicativo discreto isomorfo a , o dual de Pontryagin do grupo de Cantor . Sua identidade é , e todo elemento é de ordem dois (isto é, autoinverso).

O sistema de Walsh é uma base ortonormal do espaço de Hilbert . Ortonormalidade significa

,

e ser uma base significa que se, para cada , definimos então

Acontece que para cada , a série converge para para quase todo .

O sistema de Walsh (na numeração de Walsh-Paley) forma uma base de Schauder em ,   . Note que, ao contrário do sistema de Haar, e como o sistema trigonométrico, esta base não é incondicional, nem o sistema é uma base de Schauder em .

Generalizações

Sistemas de Walsh-Ferleger

Seja o compacto grupo de Cantor dotado da medida de Haar e seja seu grupo discreto de caracteres. Os elementos de são prontamente identificados com as funções de Walsh. É claro que os caracteres são definidos em enquanto as funções de Walsh são definidas no intervalo unitário, mas como existe um isomorfismo modulo zero entre esses espaços de medida, funções mensuráveis neles são identificadas via isometria.

Então a teoria da representação básica sugere a seguinte generalização ampla do conceito de sistema de Walsh.

Para um espaço de Banach arbitrário , seja uma ação fortemente contínua, uniformemente limitada e fiel de em X. Para cada , considere seu autoespaço . Então X é o fecho linear dos autoespaços: . Assuma que todo autoespaço é unidimensional e escolha um elemento tal que . Então o sistema , ou o mesmo sistema na numeração de Walsh-Paley dos caracteres é chamado de sistema de Walsh generalizado associado à ação . O sistema de Walsh clássico torna-se um caso especial, a saber, para

onde é adição módulo 2.

No início dos anos 1990, Serge Ferleger e Fyodor Sukochev mostraram que em uma ampla classe de espaços de Banach (os chamados espaços UMD.) os sistemas de Walsh generalizados têm muitas propriedades semelhantes ao clássico: eles formam uma base de Schauder. e uma decomposição uniforme de dimensão finita. no espaço, têm propriedade de convergência incondicional aleatória.. Um exemplo importante de sistema de Walsh generalizado é o sistema de Walsh de férmions em espaços Lp não comutativos associados ao fator tipo II hiperfinito.

Sistema de Walsh de férmions

O sistema de Walsh de férmions é um análogo não comutativo, ou "quântico", do sistema de Walsh clássico. Ao contrário deste último, consiste em operadores, não funções. No entanto, ambos os sistemas compartilham muitas propriedades importantes, por exemplo, ambos formam uma base ortonormal no espaço de Hilbert correspondente, ou base de Schauder em espaços simétricos correspondentes. Os elementos do sistema de Walsh de férmions são chamados de operadores de Walsh.

O termo Férmion no nome do sistema é explicado pelo fato de que o espaço de operadores envolvente, o chamado fator tipo II hiperfinito , pode ser visto como o espaço de observáveis do sistema de um número infinito enumerável de férmions distintos de spin . Cada operador de Rademacher atua em apenas uma coordenada de férmion particular, e ali é uma matriz de Pauli. Pode ser identificado com o observável que mede a componente de spin desse férmion ao longo de um dos eixos no espaço de spin. Assim, um operador de Walsh mede o spin de um subconjunto de férmions, cada um ao longo de seu próprio eixo.

Sistema de Vilenkin

Fixe uma sequência de inteiros com e seja dotado da topologia produto e da medida de Haar normalizada. Defina e . Cada pode ser associado ao número real

Esta correspondência é um isomorfismo modulo zero entre e o intervalo unitário. Ela também define uma norma que gera a topologia de . Para , seja onde

O conjunto é chamado de sistema de Rademacher generalizado. O sistema de Vilenkin é o grupo de caracteres (de valor complexo) de , que são todos produtos finitos de . Para cada inteiro não negativo existe uma sequência única tal que e

Então onde

Em particular, se , então é o grupo de Cantor e é o sistema de Walsh-Paley (de valor real).

O sistema de Vilenkin é um sistema ortonormal completo em e forma uma base de Schauder em ,  .

Extensões de fase não linear Extensões de fase não linear da transformada de Walsh–Hadamard discreta foram desenvolvidas. Foi mostrado que as funções de base de fase não linear com propriedades de correlação cruzada melhoradas superam significativamente os códigos de Walsh tradicionais em comunicações de acesso múltiplo por divisão de código (CDMA).A.N. Akansu and R. Poluri, "Walsh-Like Nonlinear Phase Orthogonal Codes for Direct Sequence CDMA Communications," IEEE Trans. Signal Process., vol. 55, no. 7, pp. 3800–3806, July 2007.

Aplicações

Aplicações das funções de Walsh podem ser encontradas onde quer que representações digitais sejam usadas, incluindo reconhecimento de fala, processamento de imagem médico e biológico, e holografia digital.

Por exemplo, a transformada rápida de Walsh–Hadamard (FWHT) pode ser usada na análise de métodos de quasi-Monte Carlo digitais. Em radioastronomia, as funções de Walsh podem ajudar a reduzir os efeitos de diafonia elétrica entre sinais de antena. Elas também são usadas em painéis LCD passivos como formas de onda binárias de acionamento X e Y, onde a autocorrelação entre X e Y pode ser minimizada para pixels que estão desligados.

Ver também

Transformada discreta de Fourier Transformada de Hadamard Transformada rápida de Fourier Análise harmônica Funções ortogonais Matriz de Walsh Função paridade

Notas

Referências

Ligações externas

Categoria:Funções especiais