Em matemática, o cálculo funcional holomorfo é um cálculo funcional com funções holomorfas. Isto é, dada uma função holomorfa f de um argumento complexo z e um operador T, o objetivo é construir um operador, f(T), que estenda naturalmente a função f do argumento complexo para o argumento operador. Mais precisamente, o cálculo funcional define um homomorfismo de álgebra contínuo das funções holomorfas numa vizinhança do espectro de T para os operadores limitados.
Este artigo discutirá o caso em que T é um operador linear limitado em algum espaço de Banach. Em particular, T pode ser uma matriz quadrada com entradas complexas, um caso que será usado para ilustrar o cálculo funcional e fornecer algumas ideias heurísticas para as hipóteses envolvidas na construção geral.
Motivação
Necessidade de um cálculo funcional geral
Nesta seção, assume-se que T é uma matriz n × n com entradas complexas.
Se uma dada função f é de um tipo especial, existem formas naturais de definir f(T). Por exemplo, se
é um polinômio complexo, pode-se simplesmente substituir T por z e definir
onde T0 = I, a matriz identidade. Este é o cálculo funcional polinomial. É um homomorfismo do anel dos polinômios para o anel das matrizes n × n.
Estendendo ligeiramente a partir dos polinômios, se f : C → C é holomorfa em toda a parte, i.e. uma função inteira, com série de MacLaurin
imitando o caso polinomial, sugere-se definir
Como a série de MacLaurin converge em toda a parte, a série acima convergirá, numa norma do operador escolhida. Um exemplo disto é a exponencial de uma matriz. Substituindo z por T na série de MacLaurin de f(z) = ez obtém-se
O requisito de que a série de MacLaurin de f convirja em toda a parte pode ser ligeiramente relaxado. Pelo exposto, é evidente que tudo o que é realmente necessário é que o raio de convergência da série de MacLaurin seja maior que ǁTǁ, a norma do operador de T. Isto amplia um pouco a família de f para as quais f(T) pode ser definida usando a abordagem acima. No entanto, não é totalmente satisfatório. Por exemplo, é um fato da teoria das matrizes que toda matriz T não singular tem um logaritmo S no sentido de que eS = T. É desejável ter um cálculo funcional que permita definir, para um T não singular, ln(T) de modo que coincida com S. Isto não pode ser feito via séries de potências, por exemplo, a série logarítmica
converge apenas no disco unitário aberto. Substituir T por z na série falha em dar uma expressão bem definida para ln(T + I) para T + I invertível com ǁTǁ ≥ 1. Assim, é necessário um cálculo funcional mais geral.
Cálculo funcional e o espectro
Espera-se que uma condição necessária para que f(T) faça sentido é que f esteja definida no espectro de T. Por exemplo, o teorema espectral para matrizes normais afirma que toda matriz normal é unitariamente diagonalizável. Isto leva a uma definição de f(T) quando T é normal. Encontram-se dificuldades se f(λ) não estiver definida para algum autovalor λ de T.
Outras indicações também reforçam a ideia de que f(T) só pode ser definida se f estiver definida no espectro de T. Se T não é invertível, então (recordando que T é uma matriz n x n) 0 é um autovalor. Como o logaritmo natural não está definido em 0, esperar-se-ia que ln(T) não pudesse ser definido naturalmente. Este é de facto o caso. Como outro exemplo, para
a maneira razoável de calcular f(T) pareceria ser
No entanto, esta expressão não está definida se as inversas do lado direito não existirem, isto é, se 2 ou 5 são autovalores de T.
Para uma dada matriz T, os autovalores de T ditam até que ponto f(T) pode ser definida; i.e., f(λ) deve estar definida para todos os autovalores λ de T. Para um operador limitado geral, esta condição traduz-se em "f deve estar definida no espectro de T". Esta hipótese revela-se uma condição habilitadora para que o mapa do cálculo funcional, f → f(T), tenha certas propriedades desejáveis.
Cálculo funcional para um operador limitado
thumb|direita|O espectro σ(T) em azul claro e o caminho γ em vermelho. thumb|direita|O caso em que o espectro tem múltiplas componentes conexas e o caminho γ correspondente. thumb|direita|O caso em que o espectro não é simplesmente conexo.
Seja X um espaço de Banach complexo, e L(X) denota a família dos operadores limitados em X.
Lembre-se da fórmula integral de Cauchy da teoria clássica das funções. Seja f : C → C holomorfa em algum conjunto aberto D ⊂ C, e Γ uma curva de Jordan retificável em D, isto é, uma curva fechada de comprimento finito sem auto-intersecções. Suponha que o conjunto U dos pontos z situados no interior de Γ, tais que o número de enrolamento de Γ em torno de z é 1, está contido em D. A fórmula integral de Cauchy afirma
para qualquer z em U.
A ideia é estender esta fórmula a funções tomando valores no espaço de Banach L(X). A fórmula integral de Cauchy sugere a seguinte definição (puramente formal, por enquanto):
onde (ζ−T)−1 é a resolvente de T em ζ.
Supondo que esta integral com valores em espaço de Banach seja apropriadamente definida, este cálculo funcional proposto implica as seguintes condições necessárias:
Como a versão escalar da fórmula integral de Cauchy se aplica a f holomorfa, antecipamos que também é o caso para o espaço de Banach, onde deve haver uma noção adequada de holomorfia para funções tomando valores no espaço de Banach L(X). Como o mapeamento resolvente ζ → (ζ−T)−1 não está definido no espectro de T, σ(T), a curva de Jordan Γ não deve intersectar σ(T). Agora, o mapeamento resolvente será holomorfo no complementar de σ(T). Portanto, para obter um cálculo funcional não trivial, Γ deve envolver (pelo menos parte de) σ(T). O cálculo funcional deve ser bem definido no sentido de que f(T) tem de ser independente de Γ.
A definição completa do cálculo funcional é a seguinte: Para T ∈ L(X), define-se
onde f é uma função holomorfa definida num conjunto aberto D ⊂ C que contém σ(T), e Γ = {γ1, ..., γm} é uma coleção de curvas de Jordan disjuntas em D delimitando um conjunto "interior" U, tal que σ(T) está contido em U, e cada γi é orientada no sentido da fronteira.
O conjunto aberto D pode variar com f e não precisa ser conexo ou simplesmente conexo, como mostram as figuras à direita.
As subsecções seguintes tornam precisas as noções invocadas na definição e mostram que f(T) é de facto bem definido sob as hipóteses dadas.
Integral com valores em espaço de Banach Cf. Integral de Bochner
Para uma função contínua g definida numa vizinhança aberta de Γ e tomando valores em L(X), a integral de contorno ∫Γg é definida da mesma forma que para o caso escalar. Pode-se parametrizar cada γi ∈ Γ por um intervalo real [a, b], e a integral é o limite das somas de Riemann obtidas a partir de partições cada vez mais finas de [a, b]. As somas de Riemann convergem na topologia uniforme do operador. Definimos
Na definição do cálculo funcional, assume-se que f é holomorfa numa vizinhança aberta de Γ. Será mostrado abaixo que o mapeamento resolvente é holomorfo no conjunto resolvente. Portanto, a integral
faz sentido.
O mapeamento resolvente
O mapeamento ζ → (ζ−T)−1 é chamado de mapeamento resolvente de T. Está definido no complementar de σ(T), chamado de conjunto resolvente de T e será denotado por ρ(T).
Grande parte da teoria clássica das funções depende das propriedades da integral
O cálculo funcional holomorfo é semelhante, pois o mapeamento resolvente desempenha um papel crucial na obtenção das propriedades que se deseja de um bom cálculo funcional. Esta subsecção delineia as propriedades do mapa resolvente que são essenciais neste contexto.
A 1ª fórmula do resolvente
O cálculo direto mostra, para z1, z2 ∈ ρ(T),
Portanto,
Esta equação é chamada de primeira fórmula do resolvente. A fórmula mostra que (z1−T)−1 e (z2−T)−1 comutam, o que sugere que a imagem do cálculo funcional será uma álgebra comutativa. Fazendo z2 → z1 mostra que o mapa resolvente é (complexo-)diferenciável em cada z1 ∈ ρ(T); portanto, a integral na expressão do cálculo funcional converge em L(X).
Analiticidade
Pode-se fazer uma afirmação mais forte do que a diferenciabilidade em relação ao mapa resolvente. O conjunto resolvente ρ(T) é de facto um conjunto aberto no qual o mapa resolvente é analítico. Esta propriedade será usada em argumentos subsequentes para o cálculo funcional. Para verificar esta afirmação, seja z1 ∈ ρ(T) e note a expressão formal
sugere considerar
para (z2−T)−1. A série acima converge em L(X), o que implica a existência de (z2−T)−1, se
Portanto, o conjunto resolvente ρ(T) é aberto e a expressão em série de potências num disco aberto centrado em z1 ∈ ρ(T) mostra que o mapa resolvente é analítico em ρ(T).
Série de Neumann
Outra expressão para (z−T)−1 também será útil. A expressão formal
leva a considerar
Esta série, a série de Neumann, converge para (z−T)−1 se
Compacidade de σ(T)
A partir das duas últimas propriedades do resolvente, podemos deduzir que o espectro σ(T) de um operador limitado T é um subconjunto compacto de C. Portanto, para qualquer conjunto aberto D tal que σ(T) ⊂ D, existe um sistema suave e positivamente orientado de curvas de Jordan Γ = {γ1, ..., γm} tal que σ(T) está no interior de Γ e o complementar de D está contido no exterior de Γ. Assim, para a definição do cálculo funcional, de facto pode-se encontrar uma família adequada de curvas de Jordan para cada f que é holomorfa em algum D.
Boa definição
A discussão anterior mostrou que a integral faz sentido, ou seja, existe uma coleção adequada Γ de curvas de Jordan para cada f e a integral converge no sentido apropriado. O que não foi mostrado é que a definição do cálculo funcional é inequívoca, isto é, não depende da escolha de Γ. Esta questão tentamos agora resolver.
Um facto preliminar
Para uma coleção de curvas de Jordan Γ = {γ1, ..., γm} e um ponto a ∈ C, o número de enrolamento de Γ em relação a a é a soma dos números de enrolamento dos seus elementos. Se definirmos:
o seguinte teorema é de Cauchy:
Teorema. Seja G ⊂ C um conjunto aberto e Γ ⊂ G. Se g : G → C é holomorfa, e para todo a no complementar de G, n(Γ, a) = 0, então a integral de contorno de g em Γ é zero.
Precisaremos do análogo com valores vetoriais deste resultado quando g toma valores em L(X). Para este fim, seja g : G → L(X) holomorfa, com as mesmas hipóteses sobre Γ. A ideia é usar o espaço dual L(X)* de L(X), e passar ao teorema de Cauchy para o caso escalar.
Considere a integral
se pudermos mostrar que toda φ ∈ L(X)* se anula nesta integral, então a própria integral tem de ser zero. Como φ é limitada e a integral converge em norma, temos:
Mas g é holomorfa, portanto a composição φ(g): G ⊂ C → C é holomorfa e, pelo teorema de Cauchy,
Argumento principal
A boa definição do cálculo funcional segue agora como uma consequência fácil. Seja D um conjunto aberto contendo σ(T). Suponha que Γ = {γi} e Ω = {ωj} são duas coleções (finitas) de curvas de Jordan satisfazendo a hipótese dada para o cálculo funcional. Desejamos mostrar
Seja Ω′ obtido a partir de Ω invertendo a orientação de cada ωj, então
Considere a união das duas coleções Γ ∪ Ω′. Tanto Γ ∪ Ω′ como σ(T) são compactos. Portanto, existe algum conjunto aberto U contendo Γ ∪ Ω′ tal que σ(T) está no complementar de U. Qualquer a no complementar de U tem número de enrolamento n(Γ ∪ Ω′, a) = 0 e a função
é holomorfa em U. Assim, a versão com valores vetoriais do teorema de Cauchy dá
isto é,
Portanto, o cálculo funcional é bem definido.
Consequentemente, se f1 e f2 são duas funções holomorfas definidas em vizinhanças D1 e D2 de σ(T) e são iguais num conjunto aberto contendo σ(T), então f1(T) = f2(T). Além disso, mesmo que D1 possa não ser D2, o operador (f1 + f2) (T) é bem definido. O mesmo vale para a definição de (f1·f2)(T).
Sobre a hipótese de f ser holomorfa numa vizinhança aberta de σ(T)