Na matemática, um grupo profinito é um grupo topológico que é, em certo sentido, construído a partir de um sistema de grupos finitos.

A ideia de utilizar um grupo profinito é fornecer uma visão "uniforme", ou "sinóptica", de todo um sistema de grupos finitos. As propriedades do grupo profinito são, de modo geral, propriedades uniformes do sistema. Por exemplo, o grupo profinito é finitamente gerado (como um grupo topológico) se e somente se existir tal que todo grupo no sistema possa ser gerado por elementos. Muitos teoremas sobre grupos finitos podem ser prontamente generalizados para grupos profinitos; exemplos incluem o teorema de Lagrange e os teoremas de Sylow.

Para construir um grupo profinito, é necessário um sistema de grupos finitos e homomorfismos de grupos entre eles. Sem perda de generalidade, pode-se supor que esses homomorfismos sejam sobrejetivos, caso em que os grupos finitos aparecerão como grupos quocientes do grupo profinito resultante; em certo sentido, esses quocientes aproximam o grupo profinito.

Exemplos importantes de grupos profinitos são os grupos aditivos dos inteiros -ádicos e os grupos de Galois de extensões de corpos de grau infinito.

Todo grupo profinito é compacto e totalmente desconexo. Uma generalização não compacta do conceito é a dos grupos localmente profinitos. Ainda mais gerais são os grupos totalmente desconexos.

Definição

Grupos profinitos podem ser definidos de duas maneiras equivalentes.

Primeira definição (construtiva)

Um grupo profinito é um grupo topológico que é isomorfo ao limite inverso de um sistema inverso de grupos finitos discretos. Neste contexto, um sistema inverso consiste em um conjunto direcionado uma família indexada de grupos finitos cada um munido da topologia discreta, e uma família de homomorfismos tais que é a aplicação identidade em e a coleção satisfaz a propriedade de composição sempre que O limite inverso é o conjunto:

equipado com a topologia relativa da topologia produto.

Também é possível definir o limite inverso em termos de uma propriedade universal. Em termos da teoria das categorias, este é um caso especial de uma construção de limite cofiltrado.

Segunda definição

Um grupo profinito é um grupo topológico de Hausdorff, compacto e totalmente desconexo: isto é, um grupo topológico cujo espaço subjacente é um espaço de Stone.

Completamento profinito

Dado um grupo arbitrário , existe um grupo profinito associado o completamento profinito de . Ele é definido como o limite inverso dos grupos , onde percorre os subgrupos normais em de índice finito (esses subgrupos normais são parcialmente ordenados por inclusão, o que se traduz em um sistema inverso de homomorfismos naturais entre os quocientes).

Existe um homomorfismo natural , e a imagem de sob este homomorfismo é densa em . O homomorfismo é injetivo se e somente se o grupo for residualmente finito (isto é, , onde a interseção percorre todos os subgrupos normais de índice finito).

O homomorfismo é caracterizado pela seguinte propriedade universal: dado qualquer grupo profinito e qualquer homomorfismo contínuo de grupos , onde é dotado da menor topologia compatível com as operações de grupo na qual seus subgrupos normais de índice finito são abertos, existe um único homomorfismo contínuo de grupos com .

Equivalência

Qualquer grupo construído pela primeira definição satisfaz os axiomas da segunda definição.

Reciprocamente, qualquer grupo que satisfaça os axiomas da segunda definição pode ser construído como um limite inverso de acordo com a primeira definição, utilizando o limite inverso , onde varia sobre os subgrupos normais abertos de ordenados por inclusão (inversa). Se for topologicamente finitamente gerado, então ele é, adicionalmente, igual ao seu próprio completamento profinito.

Sistemas sobrejetivos

Na prática, o sistema inverso de grupos finitos é quase sempre sobrejetivo, o que significa que todas as suas aplicações de transição são sobrejetivas. Sem perda de generalidade, é suficiente considerar apenas sistemas sobrejetivos, uma vez que, dado qualquer sistema inverso, é possível primeiro construir seu grupo profinito e então reconstruí-lo como seu próprio completamento profinito.

Exemplos

Grupos finitos são profinitos, quando dotados da topologia discreta. O grupo dos inteiros -ádicos sob a adição é profinito (na verdade, procíclico). Ele é o limite inverso dos grupos finitos , onde percorre todos os números naturais, com as aplicações naturais para A topologia sobre este grupo profinito é a mesma que a topologia proveniente da valoração -ádica em O grupo dos inteiros profinitos é o completamento profinito de Em detalhe, ele é o limite inverso dos grupos finitos , onde , com as aplicações módulo para Esse grupo é o produto de todos os grupos e é o grupo de Galois absoluto de qualquer corpo finito. A teoria de Galois de extensões de corpos de grau infinito dá origem naturalmente a grupos de Galois que são profinitos. Especificamente, se é uma extensão de Galois, considere o grupo consistindo de todos os automorfismos de corpos de que mantêm todos os elementos de fixos. Esse grupo é o limite inverso dos grupos finitos onde percorre todos os corpos intermediários tais que seja uma extensão de Galois finita. Para o processo de limite, utilizam-se os homomorfismos de restrição , onde A topologia obtida em é conhecida como a topologia de Krull, em homenagem a Wolfgang Krull. mostrou que todo grupo profinito é isomorfo a um grupo proveniente da teoria de Galois de algum corpo mas (ainda) não é possível controlar qual será o corpo nesse caso. De fato, para muitos corpos não se sabe em geral com precisão quais grupos finitos ocorrem como grupos de Galois sobre Este é o problema inverso de Galois para um corpo (Para alguns corpos o problema inverso de Galois está resolvido, como o corpo de funções racionais em uma variável sobre os números complexos.) Nem todo grupo profinito ocorre como um grupo de Galois absoluto de um corpo.Fried & Jarden (2008) p. 497 Os grupos fundamentais étales considerados na geometria algébrica também são grupos profinitos, a grosso modo porque a álgebra só consegue "ver" recobrimentos finitos de uma variedade algébrica. Os grupos fundamentais da topologia algébrica, contudo, em geral não são profinitos: para qualquer grupo prescrito, existe um complexo CW bidimensional cujo grupo fundamental é igual a ele. O grupo de automorfismos de uma árvore com raiz localmente finita é profinito.

Propriedades e fatos

Todo produto de (arbitrariamente muitos) grupos profinitos é profinito; a topologia decorrente da profinitude coincide com a topologia produto. O limite inverso de um sistema inverso de grupos profinitos com aplicações de transição contínuas é profinito e o funtor de limite inverso é exato na categoria dos grupos profinitos. Além disso, ser profinito é uma propriedade fechada por extensões. Todo subgrupo fechado de um grupo profinito é ele próprio profinito; a topologia decorrente da profinitude coincide com a topologia de subespaço. Se é um subgrupo normal fechado de um grupo profinito então o grupo quociente é profinito; a topologia decorrente da profinitude coincide com a topologia quociente. Como todo grupo profinito é compacto e de Hausdorff, existe uma medida de Haar em o que permite medir o "tamanho" de subconjuntos de calcular certas probabilidades e integrar funções sobre Um subgrupo de um grupo profinito é aberto se e somente se for fechado e tiver índice finito. De acordo com um teorema de Nikolay Nikolov e Dan Segal, em qualquer grupo profinito topologicamente finitamente gerado (isto é, um grupo profinito que possui um subgrupo denso finitamente gerado), os subgrupos de índice finito são abertos. Isso generaliza um resultado análogo anterior de Jean-Pierre Serre para grupos pro- topologicamente finitamente gerados. A demonstração utiliza a classificação dos grupos simples finitos. Como corolário direto do resultado de Nikolov–Segal acima, qualquer homomorfismo sobrejetivo de grupos discretos entre grupos profinitos e é contínuo, desde que seja topologicamente finitamente gerado. Com efeito, qualquer subgrupo aberto de tem índice finito, de modo que sua pré-imagem em também tem índice finito e, portanto, deve ser aberta. Suponha que e sejam grupos profinitos topologicamente finitamente gerados que são isomorfos como grupos discretos por meio de um isomorfismo Então é bijetivo e contínuo pelo resultado acima. Além disso, também é contínuo, logo é um homeomorfismo. Portanto, a topologia em um grupo profinito topologicamente finitamente gerado é unicamente determinada por sua estrutura algébrica.

Grupos ind-finitos

Existe a noção de grupo ind-finito, que é o dual conceitual dos grupos profinitos; isto é, um grupo é ind-finito se for o limite direto de um sistema indutivo de grupos finitos. (Em particular, é um ind-grupo.) A terminologia usual é diferente: um grupo é chamado de localmente finito se todo subgrupo finitamente gerado for finito. Isso é equivalente, de fato, a ser 'ind-finito'.

Aplicando a dualidade de Pontryagin, pode-se ver que grupos profinitos abelianos estão em dualidade com grupos abelianos discretos localmente finitos. Estes últimos são precisamente os grupos abelianos de torção.

Grupos profinitos projetivos

Um grupo profinito é projetivo se possuir a propriedade de levantamento para toda extensão. Isso equivale a dizer que é projetivo se, para todo morfismo sobrejetivo de grupos profinitos , existir uma seção Serre (1997) p. 58Fried & Jarden (2008) p. 207

A projetividade para um grupo profinito é equivalente a qualquer uma das duas propriedades: a dimensão cohomológica para todo primo , os -subgrupos de Sylow de são grupos pro- livres.

Todo grupo profinito projetivo pode ser realizado como um grupo de Galois absoluto de um corpo pseudo-algebricamente fechado. Este resultado é devido a Alexander Lubotzky e Lou van den Dries.Fried & Jarden (2008) pp. 208,545

Grupo procíclico

Um grupo profinito é procíclico se for topologicamente gerado por um único elemento isto é, se o fecho do subgrupo

Um grupo topológico é procíclico se e somente se , onde varia sobre algum conjunto de números primos e é isomorfo a ou a

Referências

Bibiliografia

. . . . Review of several books about profinite groups. . .

Categoria:Teoria dos grupos infinitos Categoria:Grupos topológicos Categoria:Topologia (matemática)