Um derivador é uma noção matemática introduzida por Alexander Grothendieck para tentar dar conta de maneira categórica das diferentes teorias da homologia e da homotopia, nomeadamente suprindo as deficiências das categorias derivadas.
Os derivadores podem ser concebidos como um vislumbre das categorias de ordem superior, permanecendo, no entanto, um objeto da teoria das categorias ordinárias.
História e motivação
Trata-se de encontrar um "bom" quadro para a álgebra homológica e homotópica, isto é, um conjunto de categorias e construções que delas dêem conta de maneira natural. Jean-Louis Verdier introduziu as categorias derivadas e trianguladas para dar conta dos fenômenos de derivação, mas isso não constitui uma situação satisfatória: um diagrama de categorias trianguladas não determina a sua colimite homotópica a isomorfismo canónico próximo; a categoria derivada de uma categoria abeliana, vista como categoria triangulada, não satisfaz uma propriedade universal.
A noção de derivador foi introduzida pela primeira vez sob este nome por Alexander Grothendieck em À la poursuite des champs (secção 69) em 1983Alexander Grothendieck, À la poursuite des champs., e paralelamente estudada por Alex Heller em 1988 Alex Heller, Homotopy theories, Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 71, n.º 383, 1988. sob o nome de "teorias homotópicas". Uma exposição dedicada é dada por Grothendieck em Les Dérivateurs em 1990Alexander Grothendieck, Les Dérivateurs, editado por M. Künzer, J. Malgoire e G. Maltsiniotis, 1990.. Em 1991, Bernhard Keller introduziu as torres de categorias trianguladas Bernhard Keller, « Derived categories and universal problems », Communications in Algebra, vol. 19, 1991, p. 699-747..Em 1996, Jens Franke introduziu os sistemas de categorias trianguladas de diagramas Jens Franke, « Uniqueness theorems for certain triangulated categories possessing an Adams spectral sequence », K-theory Preprint Archives, vol. 139, 1996., que correspondem aos derivadores estáveisGeorges Maltsiniotis, La K-théorie d’un dérivateur triangulé, 2005., e estendeu a teoria dos derivadores ao quadro enriquecido.
Definição
Designa-se por Cat a 2-categoria das (grandes) categorias.
Pré-derivadores
Considera-se uma 2-categoria Dia ("diagramas") de categorias pequenas. Um pré-derivador é um 2-functor estrito
onde é o 1-dual da 2-categoria. Pode-se, portanto, vê-lo como um pré-feixe sobre Dia com valores em Cat.
Um exemplo importante é o seguinte: se (C, W) é uma categoria munida de equivalências fracas, considera-se o pré-derivador representável definido por ; o pré-derivador de homotopia é obtido invertendo as equivalências fracas induzidas em cada diagrama:
Derivadores
Um derivador é um pré-derivador D que verifica os seguintes axiomasNa apresentação de Grothendieck, estão presentes apenas os axiomas (Der1), (Der2), (Der3) e (Der4). Na apresentação de Heller, os axiomas (Der1), (Der2), (Der3), uma versão fraca de (Der4) e (Der5) onde I é substituído por qualquer categoria livre finita.: (Der1) D transporta os coprodutos sobre os produtos; (Der2) Para um diagrama X de Dia, considera-se a família de functores . O functor induzido é conservativo; (Der3) Para todo o functor u : X → Y de Dia, a imagem inversa possui um adjunto à esquerda e à direita , isto é, u admite extensões de Kan homotópicas: ; (Der4) Para todo o 2-produto fibrado em Dia
têm-se os isomorfismos e ; (Der5) Denota-se I = 2 a categoria com dois objetos e um único morfismo não trivial entre eles. Para todo o objeto X de Dia, o functor induzido é pleno e essencialmente sobrejetivo.
A 2-categoria dos derivadores
Existem várias definições possíveis de uma 2-categoria dos derivadores, conforme se deseje preservar as colimites homológicas, os limites, ambos ou nenhum.
Pode-se definir a 2-categoria Der cuja: os objetos são os derivadores; os 1-morfismos são as transformações pseudo-naturais que comutam com (se se quiser conservar as colimites, com se se quiser conservar os limites, etc.); as 2-células são os transfers (ou modificações).
Derivadores pontuados e estáveis
Um derivador D é dito pontuado se cada categoria possui um objeto zero, isto é, um objeto simultaneamente inicial e final. Tais objetos são, em particular, conservados pelos functores . Em particular, se D é pontuado e M é uma categoria, é pontuado.
Um derivador forte é dito estável (ou triangulado) se for pontuado e se um objeto for co-cartesiano se e somente se for cartesiano. Em particular, se D é estável e M é uma categoria, é estável. O nome de derivador "triangulado" provém do seguinte teorema: se D é um derivador estável, então cada categoria é triangulada de maneira canónica.
Ver também K-teoria algébrica
Referências
Bibliografia Moritz Groth, Derivators, pointed derivators, and stable derivators, 2012 Georges Maltsiniotis, Introduction à la théorie des dérivateurs et Structure triangulée sur les catégories de coefficients de dérivateurs triangulés, 2001 Georges Malstiniotis, Lecture III : Derivators, 2010
Categoria:Álgebra homotópica Categoria:Álgebra homológica