miniaturadaimagem|Diagrama de bifurcação: a constante de Feigenbaum expressa o limite da razão entre as distâncias de bifurcações consecutivas, .|306x306px Em matemática, mais especificamente na teoria da bifurcação, as constantes de Feigenbaum ( e ) são duas constantes matemáticas obtidas a partir de quocientes num diagrama de bifurcação para uma aplicação não linear. O seu nome deve-se ao físico Mitchell J. Feigenbaum.
História Originalmente, Feigenbaum relacionou a primeira constante com as bifurcações de duplicação de período no mapa logístico, mas demonstrou igualmente que esta se aplica a todas as aplicações unidimensionais com um único máximo quadrático. Como consequência desta generalidade, qualquer sistema caótico que obedeça a esta descrição bifurca ao mesmo ritmo. Feigenbaum fez esta descoberta em 1975 e publicou-a formalmente em 1978.
As constantes Os diagramas de bifurcação dizem respeito aos valores-limite assumidos por sucessões do tipo , onde é uma função real positiva, três vezes diferenciável em e que possui um único máximo nesse intervalo (isto é, sem outros máximos locais).
Tendo em conta para uma dada função, abaixo de um determinado valor de , a sucessão tende a um único limite. Acima desse valor, mas abaixo de outro, a sucessão acaba por oscilar entre dois valores. Acima deste segundo valor, começa a oscilar entre quatro, e assim sucessivamente. Os valores de que separam dois intervalos chamam-se valores de bifurcação e denotam-se por , etc.
A primeira Constante de Feigenbaum está definida como o limite da razão entre dois intervalos sucessivos da bifurcação:
E vale aproximadamente:
A segunda constante de Feigenbaum define-se como o limite da razão entre duas distâncias sucessivas entre os ramos mais próximos de (o ponto de máximo da função ):
E vale aproximadamente:
É notável verificar que estes períodos e as constantes de Feigenbaum são independentes da forma da função , desde que esta seja três vezes diferenciável e possua um único máximo local. Exemplos de funções com estas características são , , etc.
Ligações externas
Apresentação ppt sobre diagramas de Feigenbaum, Caos e Expoentes de Liapunov
Categoria:Constantes matemáticas Categoria:Sistemas dinâmicos