Na física teórica, a teoria de Einstein-Cartan, também chamada de teoria de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble, é uma extensão clássica da relatividade geral em que o espaço-tempo pode ter, além de curvatura, torção. Na formulação mínima, energia e momento aparecem como fontes da equação de curvatura, enquanto o spin intrínseco da matéria aparece como fonte da equação de torção.
A relação entre spin e torção é algébrica na teoria mínima. A torção não constitui um campo ondulatório independente, desaparece quando a fonte de spin é nula e as equações de vácuo se reduzem às da relatividade geral. As diferenças tornam-se relevantes, nos modelos usuais, apenas quando a densidade de spin é muito alta.
Élie Cartan introduziu a geometria com torção em 1922, antes da descoberta do spin das partículas. Tom Kibble e Dennis Sciama retomaram a ideia no início da década de 1960 e formularam o acoplamento entre spin e gravitação que passou a integrar a forma moderna da teoria.
Einstein-Cartan não quantiza o campo gravitacional e, por isso, não é uma teoria de gravitação quântica. Ela é usada como estrutura clássica para estudar matéria fermiônica, cosmologia de alta densidade, colapso gravitacional, objetos compactos, geração de ondas gravitacionais e propostas experimentais sensíveis ao spin.
Visão geral miniatura|esquerda|upright=0.5|O transporte paralelo precisa de uma regra para comparar direções em pontos diferentes. Em Einstein-Cartan, essa conexão pode conter torção além da curvatura.
Na formulação métrica usual da relatividade geral, a conexão é a conexão de Levi-Civita, determinada pela métrica e sem torção. Einstein-Cartan usa uma conexão metricamente compatível mais geral e permite que ela seja independente da métrica ou, no formalismo de tétradas, que a conexão de spin seja independente da tétrada. A variação da ação fornece uma equação adicional que relaciona diretamente torção e spin.
Uma forma útil de organizar a teoria é a formulação de primeira ordem"Primeira ordem" indica uma formulação em que variáveis geométricas, como a tétrada e a conexão, são variadas independentemente., ligada ao formalismo de Palatini. Essa semelhança não torna Einstein-Cartan apenas a relatividade geral de Palatini com uma condição retirada. Na formulação com tétradas, a conexão de spin é uma variável independente, a compatibilidade métrica é mantida e a torção pode ser diferente de zero.
Aspecto Relatividade geral Teoria de Einstein-Cartan Geometria Geometria pseudo-riemanniana"Pseudo-riemanniana" é a geometria usada na relatividade para tratar espaço e tempo em uma única estrutura métrica, com assinatura diferente entre a direção temporal e as espaciais., sem torção geometria de Riemann-Cartan, com torção permitida Conexão Na formulação métrica, é a conexão de Levi-Civita determinada pela métrica É metricamente compatível, mas pode ser tratada como variável independente Fontes Energia e momento Energia e momento para a curvatura, spin para a torção Propagação da torção na teoria mínima Não se aplica A torção é determinada algebricamente"Algebricamente" quer dizer que seu valor é calculado a partir das fontes no mesmo ponto, sem uma equação de propagação independente. Região sem fonte de spinA densidade de spin mede o spin intrínseco da matéria. Ela não é o mesmo que o momento angular orbital de um corpo macroscópico. Geometria da relatividade geral A torção se anula e as equações locais de vácuo reduzem-se às da relatividade geral
História miniatura|direita|upright=0.8|Élie Cartan introduziu a torção na geometria afim em 1922. A associação física entre torção e spin da matéria foi desenvolvida décadas depois.
Cartan apresentou em 1922 uma generalização da geometria riemanniana com torção e desenvolveu o tema em trabalhos de 1923 a 1925. Sua interpretação mecânica tinha afinidade com os meios contínuos generalizados de Eugène Cosserat e François Cosserat, que permitiam graus de liberdade de rotação e tensões de momento.
Albert Einstein adotou em 1928 a geometria de paralelismo distante, hoje chamada de teleparalelismo, em seu programa de unificação da gravitação com o eletromagnetismo. Essa geometria tem curvatura nula e torção diferente de zero, mas não é a teoria de Einstein-Cartan.
Kibble formulou em 1961 uma teoria gravitacional a partir do grupo de Poincaré local, com tétrada e conexão afim local como campos independentes, e mostrou que a presença de matéria com spin torna a conexão não simétrica. Sciama desenvolveu em paralelo uma formulação gravitacional em que o spin da matéria entra na estrutura geométrica. Esses trabalhos, combinados com a geometria de Cartan, originaram a denominação Einstein-Cartan-Sciama-Kibble.
Em uma carta publicada na Physics Today, Friedrich Hehl reproduziu uma observação de Steven Weinberg que questionava a relevância física da torção na geometria diferencial. Hehl respondeu relacionando a torção às translações e, em Einstein-Cartan, ao spin da matéria.
Formulação
Geometria de Riemann-Cartan miniatura|esquerda|upright=0.75|Uma conexão afim fornece uma regra local para comparar direções. Na geometria de Riemann-Cartan, ela é metricamente compatível e pode possuir uma parte antissimétrica, a torção.
No formalismo de tétradas, cada ponto recebe um referencial local e a simetria local de Lorentz fica explícita. Isso permite acoplar espinores ao campo gravitacional por meio de uma conexão de spin independente. A definição global de espinores exige uma estrutura de spin.
Na geometria de Riemann-Cartan, a conexão afim preserva a métrica durante o transporte paraleloNo transporte paralelo, um vetor é levado ao longo de um caminho seguindo a regra dada pela conexão, o que permite comparar sua direção em pontos diferentes.,
Com uma convenção comum, a conexão é escrita como a soma da conexão de Levi-Civita e do tensor de contorção ,
A torção mede a parte antissimétrica da conexão nos dois índices inferiores,
Quando , a conexão se reduz à de Levi-Civita e a torção desaparece. Convenções diferentes podem trocar sinais na definição da contorção sem alterar o conteúdo físico.
Interpretação geométrica da torção miniatura|direita|upright=1.15|Deslocamentos em cristais dão uma analogia para a torção. Um percurso que deveria fechar deixa uma separação, medida no sólido pelo vetor de Burgers.
Uma construção infinitesimal ajuda a visualizar a torção. Dois deslocamentos paralelos sucessivos podem formar um pequeno paralelogramo que não fecha, e o vetor de separação é proporcional à torção. Na teoria de gauge de deslocamentos em sólidos, uma estrutura matemática semelhante relaciona a densidade de deslocamentos à torção e a falha de fechamento ao vetor de Burgers.
Ação e variáveis independentes miniatura|esquerda|upright=1.05|O princípio variacional compara configurações vizinhas. Em Einstein-Cartan, a tétrada e a conexão de spin são variadas independentemente para obter as duas equações gravitacionais.
Na formulação mínima de primeira ordem, a ação gravitacional tem a forma de Einstein-Hilbert, mas o escalar de Ricci é calculado com a conexão completa , que pode conter torção. Se é a densidade lagrangiana da matéria,
onde é o determinante da métrica e , com igual à constante gravitacional universal e à velocidade da luz. O princípio de Hamilton impõe
No formalismo de tétradas, variam-se de modo independente a tétrada e a conexão de spin. Também é possível parametrizar a teoria com a métrica e uma conexão metricamente compatível, ou com a métrica e a torção. A escolha das variáveis muda a aparência das equações, não a teoria mínima obtida após resolver as restrições.
Equações de campo miniatura|direita|upright=1.15|A primeira equação gravitacional liga energia e momento à curvatura. A equação de Cartan acrescenta uma relação local entre o spin da matéria e a torção.
A variação independente da tétrada e da conexão de spin fornece dois conjuntos de equações. Em uma notação tensorial comum, a equação de curvatura pode ser escrita esquematicamente como
onde é construído com a conexão que contém torção e é o tensor canônico de energia-momento. Como a conexão não precisa ser simétrica, nem o tensor de Ricci nem precisam ser simétricos antes de a equação de torção ser eliminada. O tensor canônico relaciona-se ao tensor simétrico usado na formulação métrica pela construção de Belinfante-Rosenfeld.
A segunda equação, chamada equação de Cartan, relaciona o tensor de torção ao tensor de spin. Uma convenção frequente é
em que é a densidade de spin. Sinais e fatores podem mudar com a definição adotada para torção e para o tensor de spin. A característica física permanece a mesma: a equação é algébrica e permite resolver a torção ponto a ponto a partir do spin.
Depois dessa substituição, a teoria pode ser escrita somente com a conexão de Levi-Civita, mas surgem termos efetivos quadráticos no spin no setor da matéria"Setor da matéria" é a parte da ação e das equações que contém campos materiais, em oposição à parte puramente gravitacional.. Essa forma deixa explícito por que os efeitos da torção mínima são interações locais e não ondas independentes de torção.
Acoplamento ao spin e matéria fermiônica miniatura|esquerda|upright=1.05|Férmions como o elétron têm spin . Na teoria mínima, a corrente de spin dos campos fermiônicos fornece a fonte microscópica da torção.
Para um campo de Dirac minimamente acoplado, a equação é linear quando escrita com a conexão completa. Ao resolver a equação de Cartan e eliminar a torção, o mesmo sistema passa a ser descrito por uma equação de Dirac não linear, com uma interação efetiva de contato entre correntes fermiônicas. Com mais de um campo fermiônico, a eliminação da contorção produz termos quárticos que podem envolver espécies diferentes.
Para meios macroscópicos com spin, um modelo usado na literatura é o fluido de Weyssenhoff, que acrescenta uma densidade de spin ao modelo de fluido perfeito.Um fluido perfeito é um modelo idealizado sem viscosidade nem condução de calor. O fluido de Weyssenhoff acrescenta variáveis de spin a essa descrição contínua. Obukhov e Korotky formularam suas equações e leis de conservação em Einstein-Cartan e examinaram soluções cosmológicas. O mesmo modelo foi usado mais tarde em cálculos pós-newtonianos e de ondas gravitacionais.
Leis de conservação e formulação de gauge miniatura|direita|upright=1.1|O grupo de Poincaré reúne translações e transformações de Lorentz. Na formulação de gauge, a tétrada e a conexão de spin entram como campos ligados a essas simetrias locais.
As identidades de Noether em uma geometria de Riemann-Cartan relacionam o tensor canônico de energia-momento à corrente de spin. A conservação do momento angular total combina a parte orbital e o spin intrínseco da matéria, enquanto a antissimetria do tensor canônico se relaciona à corrente de spin.
Na teoria de gauge de Poincaré, translações e transformações de Lorentz são promovidas a simetrias locais. A teoria de Einstein-Cartan-Sciama-Kibble aparece como uma das escolhas mais simples dessa família, com tétrada e conexão de spin como campos geométricos independentes.
Consequências físicas e testes
Escala dos efeitos e limite da relatividade geral miniatura|esquerda|upright=1.0|Estrelas de nêutrons levam a matéria a densidades extremas, mas isso não basta, por si só, para produzir uma correção grande de Einstein-Cartan. Um modelo de 2024 encontrou efeitos desprezíveis para estimativas realistas de spin microscópico.