Em probabilidade e estatística, a distribuição Gompertz é uma distribuição de probabilidade contínua, nomeada com base em Benjamin Gompertz. A distribuição Gompertz é comumente aplicada na demografia para descrever a distribuição de longevidade de adultos. Outras áreas relatas como biologia e gerontologia já consideraram a distribuição Gompertz para aplicações em análises de sobrevivência. A distribuição também já foi utilizada na Ciência de Computação para estudar a confiabilidade de programas de computador. Em marketing, foi utilizada para modelar simulações de valor de tempo de vida.

Definições

Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade da distribuição Gompertz é definida como

em que é o parâmetro de escala e é o parâmetro de forma da distribuição Gompertz. Na biologia e em ciências atuariais, a distribuição Gompertz é parametrizada de forma diferente (Lei de Gompertz-Makeham).

Função de distribuição acumulada A função de distribuição acumulada é:

em que and

Função geradora de momentos A função geradora de momentos é

em que

Propriedades A distribuição Gompertz é uma flexível, e pode ser enviesada para algum dos lados. Sua função taxa de risco é uma função convexa de . O modelo pode ser ajustado no paradigma da inovação-imitação com sendo o coeficiente de inovação e o coeficiente de imitação. Quanto se torna grande o suficiente, se aproxima de . O modelo também tem pode pertencer ao paradigma da propensão à adoção com sendo a propensão para adoção e como a atratividade geral da nova oferta.

Formas A densidade da distribuição Gompertz pode aparecer de várias formas, dependendo dos valores do parâmetro de forma : Quando a função densidade de probabilidade tem moda no 0. Quando a função densidade de probabilidade tem moda em

Divergência de Kullback-Leibler Se e são as funções de densidade de probabilidade de duas distribuições Gompertz, então suas divergências de Kullback-Leibler são dadas por

em que é a função exponencial integral e é a função gama incompleta superior.Bauckhage, C. (2014), Characterizations and Kullback–Leibler Divergence of Gompertz Distributions, .

Distribuições relacionadas Se X é definhada como o resultado da amostra de uma distribuição Gumbel até que um valor negativo de Y seja produzido, e fazendo X=−Y, então X tem a distribuição Gompertz. A distribuição gama é a priori conjugada natural de uma verossimilhança Gompertz com parâmetro de escala conhecida Quando varia de acordo com a distribuição gama com parâmetro de forma e parâmetro de escala (média = ), então a distribuição de é a distribuição Gama/Gompertz. Se , então , por isto .

Aplicações Modelos com base na distribuição Gompertz foram utilizadas previamente para:

Entender o comportamento temporal do volume de câncer de próstata quando um tratamento periódico é administrado. Estudar a relação entre a razão de sexo de lampreias-marinhas e a escassez de recursos.

Ver também Distribuição unit-Gompertz Curva de Gompertz Valor de tempo de vida Lei de Gompertz-Makeham

Notas

Referências

Categoria:Distribuições contínuas