Em microeconomia, denomina-se relação de preferência de modo geral uma ordenação na qual duas cestas de bens ("alternativas") são dispostas de acordo com a prioridade com que um agente de mercado ou grupo de agentes as prefere entre si. Do ponto de vista formal, trata-se de uma relação binária.
Aspectos gerais Por exemplo, denota uma relação de preferência (a chamada relação de preferência-indiferença, ou relação de preferência fraca), indicando que o seu primeiro elemento é considerado estritamente melhor ou tão bom quanto o segundo. Se um indivíduo prefere (fracamente) uma alternativa em relação a , então o par ordenado pertence ao conjunto (o índice indica que se trata das preferências do indivíduo ).
Outras relações de preferência fundamentais são a relação de preferência estrita ("estritamente melhor do que") e a relação de indiferença ("tão bom quanto"); habitualmente dispensa-se uma definição separada para as configurações inversas ("pior do que ou tão bom quanto" ou "estritamente pior do que"), já que as estruturas de preferência subjacentes podem ser expressas invertendo-se a ordem dos componentes da maneira aqui estabelecida.
Uma relação de preferência é denominada ordenação de preferências (ou ordem de preferências) quando satisfaz determinados requisitos mínimos de consistência (ver a seção Ordenação de preferências). Quando isso ocorre, refere-se comumente à racionalidade da relação de preferência-indiferença. A ordenação de preferências constitui um conceito central de racionalidade na ciência econômica. Outro sistema axiomático formal para um tomador de decisão racional foi proposto por John von Neumann e Oskar Morgenstern.
História A primeira fundamentação axiomática da relação de preferência foi formulada em 1926 por Ragnar Frisch. Após o trabalho pioneiro de Frisch na década de 1920, o foco das pesquisas concentrou-se na possibilidade de mapear uma estrutura de preferências sobre uma função de valor real. Isso foi consolidado por meio do conceito de função de utilidade, uma modelagem matemática das preferências. Em 1954, Gérard Debreu deu uma contribuição fundamental à articulação entre relações de preferência e funções de utilidade com o seu teorema da representação (também conhecido como teorema de Debreu).
Definição No caso de bens, parte-se de um conjunto
que contém todas as cestas de bens ("alternativas") existentes. Uma cesta de bens contém o bem na quantidade para . Os elementos de são cestas de bens e, portanto, -tuplas , de modo que, por exemplo, indica a quantidade do bem 3 na cesta . Para as tuplas, ao contrário dos conjuntos, a ordem dos elementos é relevante.
Relações de preferência são relações binárias sobre , isto é, são subconjuntos do produto cartesiano . Considere-se a seguir inicialmente apenas a chamada relação de preferência-indiferença (, conforme descrito). No conjunto assim definido estão contidos todos os pares ordenados para os quais se verifica que é fracamente preferido a . Adota-se doravante a notação para . A expressão pode ser lida diretamente como "é melhor ou tão bom quanto".
A partir de , induzem-se duas outras relações — também subconjuntos de . Por um lado, a relação de indiferença ; por outro, a relação de preferência estrita . Seus significados decorrem diretamente de : para duas alternativas e , tem-se (ou ) se, e somente se, e simultaneamente . A relação lê-se como "é tão bom quanto". Aplica-se raciocínio análogo a : para duas alternativas e , tem-se (ou ) se, e somente se, , mas não simultaneamente . A relação lê-se como "é estritamente melhor do que".
Em lugar das letras , e , é frequente o uso de símbolos relacionais específicos: escreve-se , e .
Quando se deseja especificar a estrutura de preferências de um indivíduo concreto , indexa-se a relação correspondentemente; assim, por exemplo, expressa que o indivíduo prefere estritamente a alternativa a .
Propriedades Conforme sua configuração específica, a relação de preferência-indiferença pode ser avaliada segundo as seguintes propriedades formais:Fundamentado principalmente em: Jehle e Reny (2011), pp. 4–12.
Completude: ou (ou ambos). Garante que para quaisquer duas alternativas seja sempre possível estabelecer uma comparação; a completude não exige que haja preferência estrita entre elas — duas alternativas distintas podem perfeitamente ser avaliadas como indiferentes. Transitividade: miniatura|Violação da hipótese de transitividade (raciocínio circular) provocada pela interseção de duas curvas de indiferença. Impede a ocorrência de preferências circulares. A necessidade desse postulado evidencia-se intuitivamente pelo seguinte exemplo: suponha-se um indivíduo que aprecie maçãs ao menos tanto quanto peras, e peras ao menos tanto quanto limões. Se ele não considerasse maçãs ao menos tão desejáveis quanto limões, recair-se-ia logicamente na premissa oposta: ele preferiria estritamente limões a maçãs, gerando um ciclo interminável no qual nenhuma escolha maximizadora seria possível. Reflexividade: Estabelece que uma alternativa comparada a si mesma é sempre considerada igualmente satisfatória (). A reflexividade é formalmente citada ao lado da completude e transitividade, embora decorra logicamente da própria completude quando se faz . Continuidade: Para todo , os conjuntos (conjunto de contorno superior) e (conjunto de contorno inferior) são fechados em . Monotonicidade (fraca):As definições de monotonicidade seguem Hal Varian (1992, p. 96). Barten e Böhm (1982, pp. 390–391) definem "monotonicidade" diretamente sob a acepção estrita. Mas-Colell, Whinston e Green (1995, p. 42) adotam definição idêntica à apresentada aqui para monotonicidade estrita e definem monotonicidade fraca estipulando que se , então . Se uma cesta contém ao menos a mesma quantidade de cada bem que uma cesta , ela é avaliada como ao menos tão boa quanto . De forma análoga define-se a: Monotonicidade estrita: Se uma cesta contém ao menos a mesma quantidade de todos os bens e uma quantidade estritamente maior de pelo menos um bem em relação a , então é estritamente preferida a . Toda relação estritamente monótona é também (fracamente) monótona. Não saciedade: Para todo , existe um tal que . Em outros termos, para qualquer cesta escolhida existe sempre outra alternativa superior disponível no espaço de consumo. Não saciedade local: Para todo e para qualquer vizinhança aberta em torno de , existe um tal que . Formalmente:
Trata-se de uma hipótese mais forte que a não saciedade global, pois requer que em qualquer raio infinitesimal exista uma cesta estritamente preferida. Por outro lado, é uma premissa mais branda que a monotonicidade estrita, permitindo a existência de desutilidades ("males", ou bens indesejáveis). Convexidade:Cf. Barten e Böhm (1982), p. 391; Mas-Colell, Whinston e Green (1995), p. 44. . A combinação convexa de duas cestas indiferentes entre si é avaliada como ao menos tão boa quanto (ou preferível a) qualquer uma delas isoladamente ("a média é preferível aos extremos"). Graficamente, as curvas de indiferença associadas são convexas em relação à origem, e os conjuntos de contorno superior constituem conjuntos convexos. Convexidade estrita: . A combinação convexa estrita entre duas cestas indiferentes e não idênticas é estritamente preferida a ambas. Homotetia: . Geometricamente, implica que as inclinações das curvas de indiferença mantêm-se constantes ao longo de qualquer raio que parte da origem. Por conseguinte, a curva de renda-consumo é linear, mantendo as proporções de demanda inalteradas diante de variações na renda.
Ordenação de preferências As duas primeiras propriedades destacam-se como fundamentais para a formulação da teoria do consumidor:
Racionalidade da relação de preferência-indiferençaCf. Barten e Böhm (1982); Friedrich Breyer (2007), p. 117; Mas-Colell, Whinston e Green (1995), p. 6. Outros autores já incorporam essa exigência diretamente ao definir uma relação de preferência fraca; ver Jehle e Reny (2011), p. 6. Uma relação de preferência-indiferença diz-se racional se for completa e transitiva. Nesse caso, ela é denominada ordenação de preferências (ou ordem de preferências).
A racionalidade de determina propriedades estruturais sobre as relações induzidas e :
Implicações para a relação de preferência estrita e de indiferençaCf. Mas-Colell, Whinston e Green (1995), p. 7. Se a relação de preferência-indiferença for racional, então, para as relações induzidas e : é: transitiva: ; e assimétrica: . é: reflexiva: ; transitiva: ; e simétrica: .
Para a dedução formal dessas propriedades, ver a seção Implicações de R para P e I.
Implicações para a função de utilidade Em termos analíticos, é conveniente representar ordenações de preferência por meio de funções reais. Diz-se que uma função é uma função de utilidade que representa a ordenação de preferências se:
Nem toda ordenação de preferências admite representação por função de utilidade contínua, mas a existência é garantida sob as seguintes condições:
Teorema da representação de DebreuGérard Debreu: Theory of Value. Yale University Press, 1959, p. 59. Se for um subconjunto conexo de , toda ordenação de preferências contínua definida em pode ser representada por uma função de utilidade contínua a valores reais .
Existem na literatura formulações alternativas que asseguram a existência de funções de utilidade. As hipóteses do teorema são suficientes, mas não estritamente necessárias. Se o conjunto de alternativas for finito ou enumerável, a representação numérica de uma ordenação racional é sempre possível sem a necessidade de hipóteses topológicas adicionais.
Exemplo: Havendo duas alternativas em que a primeira é estritamente preferida à segunda, essa ordenação pode ser representada diretamente pela função de utilidade e .
Ordenação lexicográfica de preferências
Considere-se o caso de duas cestas de dois bens, e . A ordenação de preferências é dita lexicográfica se: De segue-se que ; De e segue-se que .
Se uma cesta possui quantidade superior do bem 1, ela é estritamente preferida, independentemente da quantidade contida do bem 2. Somente em caso de empate na quantidade do bem 1 é que a quantidade do bem 2 é considerada. Para esse agente, o bem 1 possui prioridade absoluta sobre o bem 2.
Ordenações lexicográficas violam o axioma da continuidade e, consequentemente, não admitem representação por meio de funções de utilidade contínuas.A respeito, ver Mas-Colell, Whinston e Green (1995), pp. 46–47. Para constatar a ausência de continuidade: fixe-se a cesta e considere-se uma sequência de cestas , com , em que cada elemento satisfaz e . Por definição, tem-se para todo . Se a sequência converge para um limite no qual e , constata-se que , uma vez que , violando o fechamento dos conjuntos de contorno e, portanto, a continuidade.
Fundamentos matemáticos e complementos formais Definições para um conjunto não vazio genérico X e uma relação binária B sobre X:
Completude: ou (ou ambos). Reflexividade: . Irreflexividade: . Simetria: . Assimetria: . Transitividade: . Transitividade negativa: .
Implicações de R para P e I A estrutura relacional pode ser generalizada do seguinte modo:
Convenciona-se que: A relação de preferência-indiferença é uma pré-ordem total (ou completa), isto é, completa, reflexiva e transitiva (equivalente à definição econômica de ordenação de preferências). é a parte assimétrica da pré-ordem :
é a parte simétrica da pré-ordem :
Verificam-se as seguintes propriedades fundamentais:
Implicações da condição de pré-ordemCf. James C. Moore (1995), pp. 21, 23 e seguintes. Seja uma pré-ordem completa sobre um conjunto não vazio , com parte assimétrica e parte simétrica . Então: é (a) irreflexiva, (b) assimétrica, (c) negativamente transitiva e (d) transitiva. é uma relação de equivalência, isto é, (a) simétrica, (b) reflexiva e (c) transitiva.