thumb|A quártica de Klein com 28 geodésicas fechadas (marcadas por 7 cores e 4 padrões).
Na geometria, uma geodésica é uma curva que representa, em certo sentido, o caminho (arco) localmente mais curto entre dois pontos em uma superfície ou, de maneira mais geral, em uma variedade riemanniana. O termo também possui significado preciso em qualquer variedade diferenciável dotada de uma conexão afim. Trata-se da generalização do conceito de "linha reta" para espaços curvos.
O substantivo geodésica e o adjetivo geodésico(a) provêm de geodésia, a ciência que estuda a medição da forma e das dimensões da Terra, embora a maior parte dos princípios geométricos subjacentes seja aplicável a qualquer geometria elipsoidal. No sentido geográfico original, uma geodésica era a rota de menor distância entre dois pontos sobre a superfície terrestre. Para uma Terra esférica idealizada, essa trajetória corresponde a um segmento de um círculo máximo (veja também distância ortodrômica). O conceito foi estendido para espaços matemáticos abstratos; por exemplo, na teoria dos grafos, define-se uma geodésica como o caminho mais curto entre dois vértices de um grafo.
Em uma variedade ou subvariedade riemanniana, as geodésicas caracterizam-se pela propriedade de terem curvatura geodésica nula. Mais amplamente, na presença de uma conexão afim, uma geodésica é definida como uma curva cujos vetores tangentes permanecem paralelos entre si quando submetidos ao transporte paralelo ao longo da própria curva. Quando se aplica essa definição à conexão de Levi-Civita induzida por uma métrica riemanniana, recupera-se a noção métrica original de caminho de comprimento estacionário.
As geodésicas são fundamentais na relatividade geral. As geodésicas do tipo tempo na relatividade geral descrevem a trajetória e o movimento de partículas de teste em queda livre sob a ação exclusiva do campo gravitacional.
Introdução Um caminho localmente mais curto entre dois pontos em um espaço curvo (assumido como uma variedade riemanniana) pode ser definido formalmente pela equação do comprimento de arco de uma curva (uma função diferenciável f de um intervalo real para a variedade), minimizando-se esse comprimento por meio do cálculo de variações. Para contornar a redundância associada à parametrização arbitrária das curvas, restringe-se a busca a trajetórias percorridas com "velocidade constante" unitária, de modo que a distância de f(s) a f(t) ao longo da curva seja igual a |s−t|. De forma equivalente, pode-se minimizar o funcional de energia da curva; a minimização da energia resulta exatamente nas mesmas equações diferenciais das geodésicas (com a velocidade constante surgindo como consequência natural do princípio variacional). Intuitivamente, essa formulação equivale ao comportamento de um elástico esticado entre dois pontos sobre uma superfície: ao contrair-se para minimizar sua energia potencial elástica, o elástico delineia uma geodésica.
É possível que múltiplas curvas distintas minimizem simultaneamente a distância entre dois pontos, como ocorre entre dois pontos antípodas em uma esfera; nesse caso, cada um dos arcos de círculo máximo correspondentes é uma geodésica.
Qualquer segmento contíguo de uma geodésica é, por sua vez, também uma geodésica.
Em geral, geodésicas não coincidem necessariamente com os caminhos absolutos mais curtos entre dois pontos, embora ambos os conceitos estejam estritamente relacionados. A distinção reside no fato de que as geodésicas são apenas localmente minimizadoras de distância e possuem parametrização proporcional ao comprimento de arco. Percorrer o caminho mais longo ao longo de um círculo máximo entre dois pontos em uma esfera é uma geodésica, mas não é o caminho mais curto entre eles. A função no intervalo unitário real traça o caminho geométrico mais curto entre 0 e 1, mas não constitui uma curva geodésica afim, pois a velocidade do movimento varia com o tempo.
As geodésicas são amplamente estudadas na geometria riemanniana e na geometria métrica. Na relatividade geral, as geodésicas no espaço-tempo quadridimensional descrevem o movimento de partículas pontuais sob a influência da gravidade. A trajetória de um corpo em queda livre, a órbita de um satélite artificial ou o movimento de translação de um planeta são todos geodésicas no espaço-tempo curvo. A geometria sub-riemanniana estuda o caso correlato em que o deslocamento das curvas sofre restrições não holonômicas no espaço tangente.
Exemplos thumb|Uma geodésica sobre um elipsoide triaxial. thumb|right|Se um inseto colocado sobre uma superfície caminhar continuamente "para a frente", traçará por definição uma geodésica. Os exemplos mais elementares de geodésicas são as linhas retas na geometria euclidiana. Sobre uma esfera, as geodésicas correspondem aos círculos máximos. O caminho mais curto entre dois pontos A e B sobre a esfera é dado pelo menor arco do círculo máximo que passa por ambos. Se A e B forem pontos antípodas, existem infinitos caminhos de comprimento mínimo interligando-os. As geodésicas em um elipsoide exibem comportamento dinâmico mais intrincado e, em geral, não são curvas fechadas (veja a figura ao lado).
Triângulos geodésicos
thumb|left|Um triângulo geodésico sobre a esfera (triângulo esférico). Um triângulo geodésico é a figura geométrica formada por três vértices sobre uma superfície conectados dois a dois por arcos geodésicos. Na esfera, os lados são arcos de círculos máximos, formando um triângulo esférico. thumb|left|Triângulos geodésicos em espaços de curvatura positiva (topo), negativa (meio) e nula (base).
Geometria métrica Na geometria métrica, uma geodésica é uma curva que é localmente minimizadora de distância em todos os seus pontos. Mais precisamente, uma curva de um intervalo real em um espaço métrico é uma geodésica se existir uma constante tal que, para todo , exista uma vizinhança de em onde para quaisquer vale:
Isso generaliza o conceito de geodésica para espaços métricos arbitrários. Na geometria métrica, frequentemente considera-se a geodésica com parametrização natural pelo comprimento de arco ():
Se essa igualdade for satisfeita para todos os globalmente no intervalo, a curva é chamada de geodésica minimizadora ou caminho mais curto.
Em espaços métricos gerais, podem inexistir geodésicas além das curvas constantes. Em contrapartida, em um espaço métrico de comprimento, quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma sequência minimizadora de caminhos retificáveis, embora essa sequência não precise convergir para uma curva geodésica limite. O teorema de Hopf-Rinow estabelece as condições sob as quais um espaço de comprimento é completo e admite geodésicas minimizadoras entre quaisquer pares de pontos.
Geometria riemanniana Em uma variedade riemanniana com tensor métrico , o comprimento de uma curva continuamente diferenciável é definido por:
A distância intrínseca entre dois pontos e em é definida como o ínfimo do comprimento tomado sobre todas as curvas contínuas e diferenciáveis por partes tais que e . Na geometria riemanniana, todas as geodésicas minimizam distâncias localmente, mas a recíproca só se aplica a curvas cuja velocidade escalar seja constante.
Equivalentemente, as geodésicas sobre uma variedade riemanniana podem ser caracterizadas como os pontos críticos do funcional de energia (ou ação):
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, para qualquer curva de classe por partes:
ocorrendo a igualdade se e somente se for constante em quase toda parte, isto é, se a curva for percorrida a velocidade constante. Os minimizadores de minimizam automaticamente . O estudo variacional de apresenta vantagens analíticas significativas sobre , pois o funcional de energia é estritamente convexo e possui maior regularidade funcional.
As equações de Euler-Lagrange associadas ao funcional assumem, em coordenadas locais, a forma:
onde são os símbolos de Christoffel da métrica. Essa é a clássica equação geodésica.
Cálculo de variações As técnicas do cálculo de variações clássico permitem analisar a estrutura do funcional de energia . A primeira variação da energia é dada em coordenadas locais por:
Os pontos críticos da primeira variação () são precisamente as geodésicas. A segunda variação é expressa por:
Os pontos de anulação da segunda variação ao longo de uma geodésica relacionam-se diretamente com a existência de campos de Jacobi, que descrevem a dispersão e convergência de famílias de geodésicas vizinhas.
Sob a ótica da mecânica analítica, as geodésicas podem ser interpretadas como órbitas de um fluxo hamiltoniano sobre o fibrado cotangente da variedade, no qual a própria métrica riemanniana atua como a função hamiltoniana do sistema.
Geodésicas afins
Uma geodésica em uma variedade diferenciável dotada de uma conexão afim é definida como uma curva suave cujo vetor tangente é paralelo a si mesmo ao longo da curva:
em cada ponto da trajetória, onde denota a derivada temporal de .
Em um sistema de coordenadas locais em , a equação geodésica escreve-se (adotando a convenção de somatório de Einstein) como:
onde são as funções coordenadas da curva e são os símbolos de Christoffel da conexão . Trata-se de um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem não lineares, cuja solução fica unicamente determinada dadas uma posição e uma velocidade iniciais. Fisicamente, a equação indica que a aceleração covariante da partícula é nula, correspondendo ao movimento livre inercial na variedade.
Existência e unicidade O teorema fundamental de existência e unicidade local para equações diferenciais ordinárias garante que:
Para qualquer ponto e para qualquer vetor tangente , existe um intervalo aberto maximal contendo o zero e uma única geodésica satisfazendo: e
A demonstração decorre da aplicação direta do teorema de Picard-Lindelöf. A curva depende de forma suave das condições iniciais e . Se o domínio maximal for igual a toda a reta real para quaisquer condições iniciais, a variedade é dita geodesicamente completa.
Fluxo geodésico O fluxo geodésico é uma ação de grupo suave de sobre o fibrado tangente de uma variedade , definida por:
onde e representa a geodésica com velocidade inicial . Assim, relaciona-se diretamente com a aplicação exponencial. Órbitas fechadas do fluxo geodésico correspondem a geodésicas periódicas fechadas em .
Em uma variedade riemanniana, o fluxo geodésico preserva a norma dos vetores tangentes:
restringindo-se naturalmente ao fibrado tangente unitário . Pelo teorema de Liouville, o fluxo preserva a medida de volume canônica sobre o fibrado unitário.
Spray geodésico
O fluxo geodésico induz um campo vetorial diferenciável sobre o espaço total do fibrado tangente, denominado spray geodésico.
Uma conexão afim induz uma decomposição do fibrado tangente duplo em uma soma direta de subfibrados horizontal e vertical:
O spray geodésico é o único campo vetorial horizontal sobre que projeta sobre a velocidade em cada ponto:
onde é o pushforward da projeção canônica .
Geodésicas afins e projetivas A equação geodésica é invariante sob reparametrizações afins da forma (com constantes). Os parâmetros que preservam essa forma da equação são denominados parâmetros afins.
A família de todas as geodésicas munidas de parâmetros afins determina univocamente a conexão afim a menos de sua torção. Geodésicas consideradas puramente como conjuntos geométricos de pontos (sem parametrização privilegiada) são objeto de estudo das conexões projetivas.
Métodos computacionais O cálculo numérico de geodésicas sobre superfícies discretizadas (malhas poligonais e triangulares) é essencial em computação gráfica e visão computacional. Três abordagens algorítmicas destacam-se:
Algoritmo de Mitchell–Mount–Papadimitriou (MMP)