Em matemática, a equação de Poisson é uma equação diferencial parcial com uma ampla utilidade em eletrostática, engenharia mecânica e física teórica. O seu nome é derivado do matemático e físico francês Siméon Denis Poisson.

Definição Em um conjunto aberto , a equação de Poisson é definida por:

onde, é uma função chamada de termo fonte e denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

Aqui, a incógnita é uma função de em Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por . Esta notação é motivada pelo fato de que , onde denota o gradiente. Quando a equação é chamada de equação de Laplace.

Caso em duas dimensões Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano , a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

.

Em coordenadas polares , a equação torna-se:

,

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis , , e .

Caso em três dimensões Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano , a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):

.

Em coordenadas cilíndricas , a equação torna-se:

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis , , , e .

Em coordenadas esféricas , a equação toma a forma:

.

Soluções Para resolver uma equação de Poisson podem-se utilizar vários métodos como, por exemplo, uma função de Green ou métodos numéricos como o método das diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) ou o Element Free-Gallerkin Method (EFGM).

Solução em Rn Pode-se obter uma solução clássica para a equação de Poisson em :

supondo , i.e. é duas vezes continuamente diferenciável com suporte compacto. Neste caso, a solução é dada por:

onde, é a solução fundamental da equação de Laplace.

Demonstração Mostraremos, primeiro, que Note que:

.

Como , temos

e, de forma análoga, temos

o que mostra que No cálculo acima, denota o -ésimo vetor da base canônica do .

Mostraremos, agora, . Como tem uma singularidade em , tomamos e escrevemos:

(1)\quad

Aqui, denota a bola de centro e raio . Estimando o primeiro termo, vemos que:

(2)\quad

Aqui, denota a norma . Já o segundo termo pode ser integrado por partes, o que nos fornece:

(3)\quad

Aqui, denota a derivada normal de . Estimando este último termo, obtemos:

(4)\quad

Se integrarmos por partes o penúltimo termo de (3) novamente, vemos que:

(5)\quad

Aqui, o penúltimo termo é nulo, pois em . E, este último termo é tal que:

(6)\quad

pois, notemos que o termo a direita deste símbolo de igualdade é a média de sobre a fronteira da bola . Voltando a (1) e usando as conclusões de (2)-(6), concluímos que .

Condições de contorno A equação de Poisson em domínios limitados deve ser complementada com condições de contorno.

Condição de contorno de Dirichlet Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Dirichlet quando a função incógnita é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

Unicidade Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se é conexo, e , então existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.

A unicidade de solução também é garantida mesmo que não seja conexo. Com efeito, assumindo aberto, limitado, e duas soluções do mesmo problema acima, então tomando temos:

Agora, usando de integração por partes, obtemos:

o que implica que que, por sua vez, implica constante. Como em , temos em , i.e. , como queríamos demonstrar.

Condição de contorno de Neumann Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Neumann quando a derivada normal da função incógnita é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

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