miniaturadaimagem|Gráfico de uma função (azul) e uma tangente ao gráfico (vermelho). A inclinação da tangente é a derivada da função no ponto marcado. O cálculo diferencial é uma parte essencial da análise e, portanto, um ramo da Matemática. O tema central do cálculo diferencial é o cálculo das variações locais de funções. Enquanto uma função contínua associa continuamente certos valores de saída aos seus valores de entrada, o cálculo diferencial determina o quanto os valores de saída mudam após alterações muito pequenas nos valores de entrada. Está intimamente relacionado com o Cálculo integral, com o qual é agrupado sob a designação de Cálculo infinitesimal.
A derivada de uma função serve para representar as variações locais de uma função e é, ao mesmo tempo, o conceito fundamental do cálculo diferencial. Em vez de derivada, fala-se também de quociente diferencial, cujo equivalente geométrico é a inclinação da tangente. A derivada é, segundo a conceção de Leibniz, o fator de proporcionalidade entre mudanças infinitesimais do valor de entrada e as resultantes mudanças, também infinitesimais, do valor da função. Uma função é chamada de diferenciável se existir tal fator de proporcionalidade. Equivalentemente, a derivada num ponto é definida como a inclinação daquela função linear que, de entre todas as funções lineares, melhor aproxima localmente a variação da função no ponto considerado. Da mesma forma, obtém-se com a derivada no ponto uma aproximação linear da função. A Linearização de uma função possivelmente complicada tem a vantagem de resultar numa função mais simples de tratar do que a função original.
Em muitos casos, o cálculo diferencial é uma ferramenta indispensável para a criação de modelos matemáticos, que devem representar a realidade da forma mais exata possível, bem como para a sua posterior análise.
O comportamento de componentes com uma curva característica não linear é descrito, para pequenas variações de sinal nas proximidades de um ponto de referência, pelo seu comportamento de pequenos sinais; este baseia-se no traçado da tangente à curva característica no ponto de referência. A derivada em ordem ao tempo é, no contexto analisado, a taxa de variação instantânea. Assim, por exemplo, a derivada da função posição ou espaço-tempo de uma partícula em ordem ao tempo é a sua velocidade instantânea, e a derivada da velocidade instantânea em ordem ao tempo fornece a aceleração instantânea. Nas ciências económicas, fala-se também frequentemente de taxas marginais em vez de derivada, por exemplo, custos marginais ou produtividade marginal de um fator de produção.
Na linguagem da Geometria, a derivada é uma inclinação generalizada. O conceito geométrico de inclinação é originalmente definido apenas para funções lineares, cujo gráfico é uma reta. A derivada de uma função arbitrária num ponto pode ser definida como a inclinação da Tangente no ponto do gráfico de .
Na linguagem da Aritmética, escreve-se para a derivada de uma função no ponto . Ela indica por qual fator de a função muda aproximadamente quando muda numa "pequena" quantidade . Para a formulação exata deste fato, utiliza-se o conceito de limite.
Introdução
Introdução através de um exemplo Se um carro viaja por uma estrada, pode-se criar uma tabela com base nessa situação, na qual a distância percorrida desde o início do registo é anotada a cada instante de tempo. Na prática, é conveniente não criar uma tabela com intervalos demasiado curtos, ou seja, num período de 1 minuto, fazer um novo registo apenas a cada 3 segundos, o que exigiria apenas 20 medições. No entanto, em teoria, uma tal tabela pode ser tornada tão pormenorizada quanto se deseje se cada instante de tempo tiver de ser considerado. Ao fazê-lo, os dados discretos anteriores, ou seja, dados contáveis separados por um intervalo, passam para um contínuo. O presente é então interpretado como um instante no tempo, ou seja, um período de tempo infinitamente curto. Ao mesmo tempo, porém, o carro percorreu uma distância teoricamente conhecida em todos os momentos e, a menos que trave até parar ou mesmo ande de marcha à ré, a distância aumentará continuamente, ou seja, nunca será a mesma num momento e noutro.A motivação por trás do conceito de derivada de uma curva ou função espaço-tempo é que agora é possível especificar quão rápido o carro se move num determinado instante. A partir de um gráfico de espaço-tempo, o correspondente perfil de velocidade-tempo deve, portanto, ser derivado. O raciocínio é que a velocidade é uma medida de quão fortemente a distância percorrida muda ao longo do tempo. Com uma velocidade alta, observa-se uma subida acentuada na curva, enquanto uma velocidade baixa leva a poucas alterações. Dado que a cada ponto de medição foi também atribuída uma distância, tal análise deveria, em princípio, ser possível, porque com o conhecimento da distância percorrida dentro de um intervalo de tempo , a velocidade é dada por
Assim, se e são dois instantes de tempo diferentes, "a velocidade" do carro no intervalo de tempo entre eles é
As diferenças no numerador e no denominador devem ser formadas, uma vez que se está interessado apenas na distância percorrida dentro de um determinado intervalo de tempo . No entanto, esta abordagem não fornece uma imagem completa, visto que inicialmente apenas foram medidas as velocidades para intervalos de tempo com pontos de partida e de chegada distantes. Uma velocidade instantânea, por outro lado, comparável à foto de um radar de velocidade, referir-se-ia a um intervalo de tempo infinitamente curto. Consequentemente, o termo "velocidade" acima deve ser precisado como "velocidade média". Mesmo quando se trabalha com intervalos de tempo reais, ou seja, dados discretos, o modelo simplifica-se na medida em que não é possível ao carro sofrer uma mudança repentina de posição ou uma mudança repentina de velocidade dentro dos intervalos considerados. (Mesmo uma travagem a fundo requer tempo, concretamente mais tempo do que aquele em que os pneus chiam.) Isto justifica também que a curva desenhada implicitamente de forma contínua não tenha saltos nem quebras. miniaturadaimagem|360x360px|No instante de 25 segundos, o carro move-se instantaneamente a aprox. 7,6 metros por segundo, o que equivale a 27 km/h. Este valor corresponde à inclinação da tangente à curva espaço-tempo no respetivo ponto. Mais explicações detalhadas sobre esta interpretação geométrica são dadas mais abaixo. Se, por outro lado, se desejar passar para um perfil de velocidade-tempo "perfeitamente ajustado", a expressão "velocidade média num intervalo de tempo" deve ser substituída por "velocidade num instante de tempo". Para isso, deve primeiro ser escolhido um instante . A ideia agora é deixar que "intervalos de tempo extensos" corram em direção a um intervalo de tempo infinitamente curto num processo de limite e estudar o que acontece com as velocidades médias em questão. Embora o denominador tenda para 0, isso não é um problema intuitivo, uma vez que o carro pode mover-se cada vez menos em períodos de tempo cada vez mais curtos num decurso contínuo, com o qual o numerador e o denominador diminuem simultaneamente e surge uma expressão indeterminada "" no processo de limite. Esta pode, em certas circunstâncias, fazer sentido como um limite, por exemplo as expressões
exprimem exatamente as mesmas velocidades. Agora existem duas possibilidades ao estudar as velocidades. Ou elas não mostram qualquer tendência para se aproximarem de um determinado valor finito no processo de limite considerado. Neste caso, nenhuma velocidade válida no instante pode ser atribuída ao movimento do carro, ou seja, a expressão "" não tem significado inequívoco aqui. Se, por outro lado, houver uma estabilização crescente em direção a um valor fixo, então o limite existe
e expressa a velocidade exata no instante . A expressão indeterminada "" assume, neste caso, um valor inequívoco. A velocidade instantânea daí resultante também é designada por derivada de no ponto ; o símbolo é frequentemente utilizado para esta. Com o limite, a velocidade instantânea em qualquer instante é definida como
Princípio do cálculo diferencial miniaturadaimagem|Gráfico da função tempo-distância (a azul). Se passar um segundo (a vermelho), a distância percorrida aumenta 2 metros (a cor de laranja). Portanto, o carro move-se a "2 metros por segundo". A velocidade corresponde à inclinação. O triângulo de inclinação pode ser reduzido de forma arbitrária sem alterar a proporção entre a altura e a base. O exemplo da seção anterior é particularmente simples quando o aumento da distância percorrida ao longo do tempo é uniforme, ou seja, linear. Então, existe especificamente uma Proporcionalidade entre a mudança na distância e a mudança no tempo. A mudança relativa da distância, ou seja, o seu aumento em relação ao aumento do tempo, permanece sempre a mesma durante este movimento. A velocidade média é a velocidade instantânea a qualquer momento. Por exemplo, entre 0 e 1 segundo o carro viaja a mesma distância que entre 9 e 10 segundos, e dez vezes a distância entre 0 e 10 segundos. A velocidade constante aplica-se como um fator de proporcionalidade em toda a distância, sendo no quadro ao lado de . A distância percorrida entre dois instantes e , arbitrariamente distantes, é
.
Em geral, o carro move-se para a frente uma distância no período de tempo . Especificamente em , isto resulta num trecho de caminho .
Se o valor inicial em não for mas sim , isto não altera nada, uma vez que na relação a constante é sempre subtraída através da diferença de . Isto também é claro do ponto de vista intuitivo: A posição inicial do carro é irrelevante para a sua velocidade.
Se as variáveis e forem geralmente consideradas em vez das variáveis e , pode-se afirmar o seguinte:
Funções lineares: No caso de linearidade, a função considerada tem a forma . (Para uma função linear não é necessária uma reta que passe pela origem!). A mudança relativa aplica-se como a derivada, por outras palavras o quociente de diferenças . Tem o mesmo valor em todos os pontos. A derivada pode ser lida diretamente a partir da expressão . Em particular, qualquer Função constante tem a derivada , uma vez que uma alteração no valor de entrada não altera nada no valor de saída.
Torna-se mais difícil quando um movimento não é uniforme. Nesses casos, o diagrama da função tempo-distância não é uma linha reta. Para tais percursos, o conceito de derivada deve ser alargado. Pois não há fator de proporcionalidade que expresse a mudança relativa local em todas as partes. Como única estratégia possível, encontrou-se a obtenção de uma Aproximação linear para a função não linear, pelo menos num ponto de interesse. (Na figura seguinte, este é o ponto .) Assim, o problema é reduzido a uma função que é linear pelo menos neste ponto. O método da Linearização é a base do verdadeiro Cálculo diferencial. É de grande importância na análise, porque ajuda a reduzir processos complexos localmente para processos mais fáceis de entender, nomeadamente processos lineares.Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1. 3ª Edição. Birkhäuser, p. 316. 0,50,90,990,99911,0011,011,11,520,250,810,98010,99800111,0020011,02011,212,25400,80,980,99811,0021,021,223−0,25−0,01−0,0001−0,0000010−0,000001−0,0001−0,01−0,25−150 %10 %1 %0,1 %0,1 %1 %10 %50 %100 % miniaturadaimagem|Representação gráfica da aproximação de no ponto por . Esta última é a equação da Tangente a neste ponto.