thumb|350px|right|Gráfico de uma função convexa Em matemática, uma função f de [a,b] em R é dita convexa se a região sobre o seu gráfico, ou seja, o conjunto:
For um conjunto convexo. Isto equivale a afirmar que, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ [0,1], tem-se:
Ou seja, uma função é convexa se a imagem pela função de qualquer combinação convexa entre dois pontos do domínio resulte em um valor que é no máximo igual à combinação convexa das imagens desses pontos. Uma função diz-se estritamente convexa se, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ (0,1), se tiver:
Definição formal Seja , definida no conjunto convexo . Sejam também dois pontos x e y do domínio e a constante . Então:
A função será... Se e somente se... Exemplo visual Convexa Estritamente convexa Côncava <MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory.Oxford university press, 1995. Página 930. Estritamente côncava (e portanto também côncava) Quasicôncava <MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory.Oxford university press, 1995. Página 933. Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava) , e implicarem necessariamente que Quasiconvexa
Propriedades das funções convexas Uma função convexa em [a,b] é sempre contínua em (a,b). Uma função contínua num intervalo I é convexa se e somente se: para qualquer x,y ∈ I. Uma função diferenciável é convexa num intervalo se e só se a sua derivada é monótona não decrescente nesse intervalo. Uma função continuamente diferenciavel de uma variável é convexa num intervalo, se e só se: , para todos x e y no intervalo. Uma função duas vezes diferenciável de uma variável é convexa num intervalo se e somente se, a sua segunda derivada é maior ou igual a zero em todo o intervalo. Se a sua segunda derivada é estritamente positiva então a função é estritamente convexa. Se uma função convexa possui um mínimo local, ele também será um mínimo global. Uma função estritamente convexa possui no máximo um mínimo. O máximo de funções convexas também é uma função convexa.
Exemplos A função é convexa. A função é convexa. O valor absoluto é uma função convexa
Extensões
Seja um espaço vetorial e um conjunto convexo contido em , então um função é dita convexa se: para todo em [0,1]. E estritamente convexa se: para todo em (0,1) e .
Exemplos Toda norma ou seminorma é convexa, pela desigualdade triangular Todo funcional linear em é convexo.
Aplicações Funções convexas são amplamente utilizadas para demonstrar desigualdades tais como a desigualdade de Young. A convexidade desempenha um papel muito importante na aplicação de métodos variacionais para EDPs não-lineares.
Ver também Desigualdade de Jensen
Categoria:Análise real convexa