thumb|alt=Círculo unitário|Ilustração de um círculo unitário. A variável t é uma medida de ângulo. thumb|Animação do ato de desenrolar a circunferência de um círculo unitário, um círculo com raio 1. Como , a circunferência de um círculo unitário é . Na matemática, um círculo unitário é um círculo de raio unitário — isto é, um raio de 1. Frequentemente, especialmente na trigonometria, o círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem (0, 0) no sistema de coordenadas cartesianas no plano euclidiano. Em topologia, é frequentemente denotado como porque é uma -esfera unitária unidimensional.

Se é um ponto na circunferência do círculo unitário, então e são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 1. Assim, pelo teorema de Pitágoras, e satisfazem a equação .

Como para todo , e como a reflexão de qualquer ponto no círculo unitário sobre o eixo ou também está no círculo unitário, a equação acima vale para todos os pontos no círculo unitário, não apenas aqueles no primeiro quadrante.

O interior do círculo unitário é chamado de disco unitário aberto, enquanto o interior do círculo unitário combinado com o próprio círculo unitário é chamado de disco unitário fechado.

Pode-se também usar outras noções de "distância" para definir outros "círculos unitários", como o círculo Riemanniano; veja o artigo sobre normas matemáticas para exemplos adicionais.

No plano complexo thumb|Animação do círculo unitário com ângulos No plano complexo, números de magnitude unitária são chamados de números unitários complexos. Este é o conjunto de números complexos tais que . Quando dividido em componentes reais e imaginários , esta condição é .

O círculo unitário complexo pode ser parametrizado pela medida do ângulo do eixo real positivo usando a função exponencial complexa, . (Veja o artigo Fórmula de Euler.)

Sob a operação de multiplicação complexa, os números unitários complexos formam um grupo chamado grupo circular, geralmente denotado . Na mecânica quântica, um número unitário complexo é chamado de fator de fase.

Funções trigonométricas no círculo unitário thumb|Todas as funções trigonométricas do ângulo (teta) podem ser construídas geometricamente em termos de um círculo unitário centrado em O. thumb|Função seno no círculo unitário (acima) e seu gráfico (abaixo) As funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo são definidas usando o círculo unitário.

Nessa construção geométrica, o ângulo é formado por dois raios: o braço inicial, que permanece fixo ao longo do eixo positivo, e o braço terminal, um raio que se estende da origem até um ponto na circunferência do círculo unitário. O valor de representa a medida da rotação do braço inicial ao braço terminal, onde a rotação no sentido anti-horário é designada como positiva e a rotação no sentido horário como negativa. Consequentemente, as funções trigonométricas são definidas pelas coordenadas do ponto onde o braço terminal intersecta o círculo:

A equação fornece a relação

O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades

para qualquer inteiro .

Triângulos construídos no círculo unitário também podem ser usados para ilustrar a periodicidade das funções trigonométricas. Primeiro, construa um raio da origem até um ponto no círculo unitário de modo que um ângulo com seja formado com o braço positivo do eixo . Agora considere um ponto e segmentos de reta . O resultado é um triângulo retângulo com . Como tem comprimento , comprimento e tem comprimento 1 como um raio no círculo unitário, e . Tendo estabelecido essas equivalências, pegue outro raio da origem até um ponto no círculo de modo que o mesmo ângulo seja formado com o braço negativo do eixo . Agora considere um ponto e segmentos de reta . O resultado é um triângulo retângulo com . Pode-se ver, portanto, que, como , está em da mesma forma que P está em . A conclusão é que, como é o mesmo que e é o mesmo que , é verdade que e . Pode ser inferido de forma similar que , já que e . Uma demonstração simples do acima pode ser vista na igualdade .

Ao trabalhar com triângulos retângulos, seno, cosseno e outras funções trigonométricas só fazem sentido para medidas de ângulo maiores que zero e menores que ⁠. Entretanto, quando definidas com o círculo unitário, essas funções produzem valores significativos para qualquer medida de ângulo de valor real – mesmo aquelas maiores que 2. Na verdade, todas as seis funções trigonométricas padrão – seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, bem como funções arcaicas como seno verso (verseno) e secante externa (exsecante) – podem ser definidas geometricamente em termos de um círculo unitário, como mostrado à direita.

Usando o círculo unitário, os valores de qualquer função trigonométrica para muitos ângulos diferentes daqueles rotulados podem ser facilmente calculados manualmente usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos. thumb|O círculo unitário, mostrando coordenadas de certos pontos

Dinâmica complexa right|thumb|Círculo unitário em dinâmica complexa O conjunto de Julia de sistema dinâmico que não é linear, discreto, com função de evolução:

é um círculo unitário. É um caso mais simples, por isso é amplamente utilizado no estudo de sistemas dinâmicos.

Ver também Ângulo Cubo unitário Função trigonométrica Gráfico de Smith Identidade trigonométrica Identidade trigonométrica fundamental Radiano Transformada Z Volta (ângulo)

Nota

Referências

Categoria:Análise de Fourier Categoria:Círculos Categoria:Geometria algébrica Categoria:Um Categoria:Trigonometria