Na matemática, um módulo é uma generalização da noção de espaço vetorial na qual o corpo de escalares é substituído por um anel (não necessariamente comutativo). O conceito de um módulo também generaliza a noção de um grupo abeliano, uma vez que os grupos abelianos são exatamente os módulos sobre o anel dos inteiros.Hungerford (1974) Algebra, Springer, p 169: "Modules over a ring are a generalization of abelian groups (which are modules over Z)."
Assim como um espaço vetorial, um módulo é um grupo abeliano aditivo, e a multiplicação escalar é distributiva em relação às operações de adição entre elementos do anel ou módulo e é compatível com a multiplicação do anel.
Os módulos estão muito intimamente relacionados com a teoria de representação de grupos. Eles também são uma das noções centrais da álgebra comutativa e da álgebra homológica, e são amplamente utilizados na geometria algébrica e na topologia algébrica.
Introdução e definição
Motivação Num espaço vetorial, o conjunto de escalares é um corpo e atua sobre os vetores por multiplicação escalar, sujeito a certos axiomas, como a lei distributiva. Num módulo, os escalares precisam ser apenas um anel, de modo que o conceito de módulo representa uma generalização significativa. Na álgebra comutativa, tanto os ideais quanto os anéis quociente são módulos, de forma que muitos argumentos sobre ideais ou anéis quociente podem ser combinados num único argumento sobre módulos. Na álgebra não comutativa, a distinção entre ideais à esquerda, ideais bilaterais e módulos torna-se mais pronunciada, embora algumas condições da teoria dos anéis possam ser expressas tanto sobre ideais à esquerda quanto sobre módulos à esquerda.
Grande parte da teoria dos módulos consiste em estender o máximo possível das propriedades desejáveis dos espaços vetoriais para o domínio dos módulos sobre um anel "bem comportado", como um domínio de ideais principais. No entanto, os módulos podem ser um pouco mais complicados que os espaços vetoriais; por exemplo, nem todos os módulos possuem uma base, e mesmo para aqueles que a possuem (módulos livres), o número de elementos numa base não precisa ser o mesmo para todas as bases (ou seja, eles podem não ter um posto único) se o anel subjacente não satisfizer a condição de número de base invariante, diferentemente dos espaços vetoriais, que sempre possuem uma base (possivelmente infinita) cuja cardinalidade é então única. (Essas duas últimas afirmações requerem o axioma da escolha em geral, mas não no caso de espaços vetoriais de dimensão finita, ou certos espaços vetoriais de dimensão infinita bem comportados, como os espaços Lp).
Definição formal Suponha que R seja um anel e 1 seja a sua identidade multiplicativa. Um -módulo à esquerda consiste num grupo abeliano e numa operação tal que para todo , em e , em , temos , , ,
A operação é chamada de multiplicação escalar. Freqüentemente, o símbolo é omitido, mas neste artigo nós o usamos e reservamos a justaposição para a multiplicação em . Pode-se escrever para enfatizar que é um -módulo à esquerda. Um -módulo à direita é definido de forma semelhante em termos de uma operação .
O qualificativo de módulo à esquerda ou à direita não depende se os escalares são escritos à esquerda ou à direita, mas da propriedade 3: se, na definição acima, a propriedade 3 for substituída por
obtém-se um módulo à direita, mesmo que os escalares sejam escritos à esquerda. No entanto, escrever os escalares à esquerda para módulos à esquerda e à direita para módulos à direita torna a manipulação da propriedade 3 muito mais fácil.
Autores que não exigem que anéis sejam unitais omitem a condição 4 na definição acima; eles chamariam as estruturas definidas acima de "-módulos unitais à esquerda". Neste artigo, consistente com o glossário de teoria dos anéis, assume-se que todos os anéis e módulos são unitais.
Um (, )-bimódulo é um grupo abeliano juntamente com uma multiplicação escalar à esquerda por elementos de e uma multiplicação escalar à direita por elementos de , tornando-o simultaneamente um -módulo à esquerda e um -módulo à direita, satisfazendo a condição adicional para todo em , em e em .
Se for um anel comutativo, então os -módulos à esquerda são os mesmos que os -módulos à direita e são simplesmente chamados de -módulos. Na maioria das vezes, os escalares são escritos à esquerda neste caso.
Exemplos
Se for um corpo, então os -módulos são chamados de -espaços vetoriais (espaços vetoriais sobre ). Se for um corpo, e um anel de polinômios univariado, então um -módulo é um -módulo com uma ação adicional de em por um homomorfismo de grupos que comuta com a ação de em . Em outras palavras, um -módulo é um -espaço vetorial combinado com uma transformação linear de para . A aplicação do teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais a este exemplo mostra a existência das formas canônica racional e de Jordan. O conceito de um -módulo concorda com a noção de um grupo abeliano. Ou seja, todo grupo abeliano é um módulo sobre o anel dos inteiros de uma maneira única. Para , seja ( parcelas), e . Tal módulo não precisa ter uma base — grupos contendo elementos de torção não têm. (Por exemplo, no grupo dos inteiros módulo 3, não se pode encontrar nem mesmo um elemento que satisfaça a definição de um conjunto linearmente independente, pois quando um inteiro como 3 ou 6 multiplica um elemento, o resultado é 0. No entanto, se um corpo finito for considerado como um módulo sobre o mesmo corpo finito tomado como um anel, ele será um espaço vetorial e possuirá uma base). As frações decimais (incluindo as negativas) formam um módulo sobre os inteiros. Apenas conjuntos unitários (singletons) são conjuntos linearmente independentes, mas não existe nenhum conjunto unitário que possa servir como base, de modo que o módulo não tem base e não tem posto, no sentido usual da álgebra linear. No entanto, este módulo tem um posto livre de torção igual a 1. Se for qualquer anel e um número natural, então o produto cartesiano é tanto um -módulo à esquerda quanto à direita sobre se usarmos as operações componente a componente. Assim, quando , é um -módulo, onde a multiplicação escalar é apenas a multiplicação do anel. O caso produz o -módulo trivial consistindo apenas de seu elemento neutro. Módulos deste tipo são chamados de livres e se tiver número de base invariante (por exemplo, qualquer anel comutativo ou corpo) o número é então o posto do módulo livre. Se é o anel de matrizes sobre um anel , é um -módulo, e é a matriz com 1 na entrada (e zeros nos demais lugares), então é um -módulo, uma vez que . Então se divide como a soma direta de -módulos, . Reciprocamente, dado um -módulo , então é um -módulo. De fato, a categoria de -módulos e a categoria de -módulos são equivalentes. O caso especial é aquele em que o módulo é apenas como um módulo sobre si mesmo; então é um -módulo. Se for um conjunto não vazio, for um -módulo à esquerda e for a coleção de todas as funções , então com adição e multiplicação escalar em definidas ponto a ponto por e , é um -módulo à esquerda. O caso do -módulo à direita é análogo. Em particular, se for comutativo, então a coleção de -homomorfismos de módulos (veja abaixo) é um -módulo (e de fato um submódulo de ). Se for uma variedade suave, então as funções suaves de nos números reais formam um anel . O conjunto de todos os campos vetoriais suaves definidos em forma um módulo sobre , assim como os campos tensoriais e as formas diferenciais em . De forma mais geral, as seções de qualquer fibrado vetorial formam um módulo projetivo sobre , e pelo teorema de Swan, todo módulo projetivo é isomorfo ao módulo de seções de algum fibrado vetorial; a categoria de -módulos e a categoria de fibrados vetoriais sobre são equivalentes. Se for qualquer anel e for qualquer ideal à esquerda em , então é um -módulo à esquerda, e analogamente ideais à direita em são -módulos à direita. Se for um anel, podemos definir o anel oposto , que tem o mesmo conjunto subjacente e a mesma operação de adição, mas a multiplicação oposta: se em , então em . Qualquer -módulo à esquerda pode então ser visto como um módulo à direita sobre , e qualquer módulo à direita sobre pode ser considerado um módulo à esquerda sobre . Módulos sobre uma álgebra de Lie são módulos (como álgebras associativas) sobre a sua álgebra envolvente universal. Se e são anéis com um homomorfismo de anéis , então todo -módulo é um -módulo, definindo-se . Em particular, o próprio é um tal -módulo.
Submódulos e homomorfismos
Suponha que seja um -módulo à esquerda e seja um subgrupo de . Então é um submódulo (ou mais explicitamente um -submódulo) se para qualquer em e qualquer em , o produto (ou para um -módulo à direita) está em .
Se é um subconjunto qualquer de um -módulo , então o submódulo gerado por é definido como onde percorre os submódulos de que contêm , ou explicitamente , o que é importante na definição de produtos tensoriais de módulos.
O conjunto de submódulos de um dado módulo , juntamente com as duas operações binárias (o módulo gerado pela união dos argumentos) e , forma um reticulado que satisfaz a lei modular: Dados os submódulos , , de tais que , então os dois submódulos a seguir são iguais: .
Se e são -módulos à esquerda, então uma aplicação é um homomorfismo de -módulos se para quaisquer , em e , em , . Isto, como qualquer homomorfismo de objetos matemáticos, é apenas um mapeamento que preserva a estrutura dos objetos. Outro nome para um homomorfismo de -módulos é uma -aplicação linear.
Um homomorfismo de módulos bijetivo é chamado de isomorfismo de módulos, e os dois módulos e são chamados de isomorfos. Dois módulos isomorfos são idênticos para todos os fins práticos, diferindo apenas na notação para seus elementos.
O núcleo de um homomorfismo de módulos é o submódulo de constituído por todos os elementos que são enviados a zero por , e a imagem de é o submódulo de constituído pelos valores para todos os elementos de . Os teoremas do isomorfismo familiares dos grupos e espaços vetoriais também são válidos para -módulos.
Dado um anel , o conjunto de todos os -módulos à esquerda juntamente com os seus homomorfismos de módulos forma uma categoria abeliana, denotada por -Mod (veja categoria de módulos).
Tipos de módulos
Finitamente gerado Um -módulo é finitamente gerado se existirem finitamente muitos elementos em tais que todo elemento de é uma combinação linear desses elementos com coeficientes do anel . Cíclico Um módulo é chamado de módulo cíclico se for gerado por um elemento. Livre Um -módulo livre é um módulo que tem uma base, ou equivalentemente, um que é isomorfo a uma soma direta de módulos de cópias do anel . Estes são os módulos que se comportam de maneira muito semelhante aos espaços vetoriais. Projetivo Módulos projetivos são somandos diretos de módulos livres e compartilham muitas de suas propriedades desejáveis. Injetivo Módulos injetivos são definidos dualmente aos módulos projetivos. Plano Um módulo é chamado de plano (flat) se tomar o produto tensorial dele com qualquer sequência exata de -módulos preserva a exatidão. Sem torção (torsionless) Um módulo é chamado de sem torção se ele mergulha no seu módulo dual. Simples Um módulo simples é um módulo que não é e cujos únicos submódulos são e . Módulos simples são às vezes chamados de irredutíveis.Jacobson (1964), p. 4, Def. 1 Semissimples Um módulo semissimples é uma soma direta (finita ou não) de módulos simples. Historicamente, esses módulos também são chamados de completamente redutíveis. Indecomponível Um módulo indecomponível é um módulo não nulo que não pode ser escrito como uma soma direta de dois submódulos não nulos. Todo módulo simples é indecomponível, mas existem módulos indecomponíveis que não são simples (ex. módulos uniformes).