Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.
Exemplos O conjuntos dos números reais com a métrica usual é completo. Qualquer subconjunto fechado de é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.
Espaços métricos não-completos Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, , com as seguintes propriedades: A inclusão i: E → , i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E). E é denso em . é um espaço completo.
Pode-se mostrar que é único, no seguinte sentido: Se são espaços métricos completos, são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então são isométricos.
Esboço da construção A construção de é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.
Categoria:Análise matemática Categoria:Topologia (matemática)