A é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

Definições Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo ou .

Caso Real Se , escrevamos o polinômio característico de T na forma , com se .

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r dada por Triangulação - Forma Canónica de Jordan, site do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro , que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

onde N é uma matriz nilpotente, pois .

Se são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de dada por .

Caso Complexo

Se , escrevamos o polinômio característico de T na forma , onde é uma raiz complexa de pT, com e se .

Se é uma raiz complexa de , define-se, analogamente à matriz , , onde e

Teorema (de Jordan) Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se e , com se , , então existe uma base na qual a matriz de T é da forma , onde são da forma e .

Se e , onde é uma raiz complexa de pT com e se (), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

onde são da forma e e são da forma e .

Corolário A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma (caso complexo) ou (caso real).

Observações Blocos de Jordan com a mesma raiz O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma: , mas é possivel que quando

Por exemplo, a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan: , em que , e .

Unicidade A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.

Bibliografia Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978. Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9

Categoria:Álgebra linear