Em álgebra, um número split-complexo (ou número hiperbólico, também número perplexo, número duplo) é baseado em uma unidade hiperbólica satisfazendo , onde . Um número split-complexo tem duas componentes reais e , e é escrito O conjugado de é Como o produto de um número com seu conjugado é uma forma quadrática isotrópica.
A coleção de todos os números split-complexos para forma uma álgebra sobre o corpo dos números reais. Dois números split-complexos e têm um produto que satisfaz Esta composição de sobre o produto algébrico faz de uma álgebra de composição.
Uma álgebra similar baseada em e operações componente a componente de adição e multiplicação, onde é a forma quadrática em também forma um espaço quadrático. O isomorfismo de anéisé uma isometria de espaços quadráticos.
Os números split-complexos têm muitos outros nomes; veja abaixo. Veja o artigo Variável motora para funções de um número split-complexo.
Definição Um número split-complexo é um par ordenado de números reais, escrito na forma
onde e são números reais e a unidade hiperbólicaVladimir V. Kisil (2012) Geometry of Mobius Transformations: Elliptic, Parabolic, and Hyperbolic actions of SL(2,R), páginas 2, 161, Imperial College Press , que não é um número real mas uma quantidade independente, satisfaz
No corpo dos números complexos, a unidade imaginária i satisfaz A mudança de sinal distingue os números split-complexos dos complexos ordinários.
A coleção de todos esses é chamada de plano split-complexo. Adição e multiplicação de números split-complexos são definidas por
Esta multiplicação é comutativa, associativa e distributiva sobre a adição.
Conjugado, módulo e forma bilinear Assim como para números complexos, pode-se definir a noção de conjugado split-complexo. Se
então o conjugado de é definido como
O conjugado é uma involução que satisfaz propriedades similares ao conjugado complexo. Ou seja,
O módulo ao quadrado de um número split-complexo é dado pela forma quadrática isotrópica
Ele tem a propriedade de álgebra de composição:
No entanto, esta forma quadrática não é definida positiva, mas tem assinatura , então o módulo não é uma norma.
A forma bilinear associada é dada por
onde e Aqui, a parte real é definida por . Outra expressão para o módulo ao quadrado é então
Como não é definida positiva, esta forma bilinear não é um produto interno; no entanto, a forma bilinear é frequentemente referida como um produto interno indefinido. Um abuso de linguagem semelhante refere-se ao módulo como uma norma.
Um número split-complexo é invertível se e somente se seu módulo for diferente de zero Números da forma não têm inverso e são chamados de vetores nulos. O inverso multiplicativo de um elemento invertível é dado por
A base diagonal Existem dois elementos idempotentes não triviais dados por e A idempotência significa que e Ambos os elementos são nulos:
É frequentemente conveniente usar e ∗ como uma base alternativa para o plano split-complexo. Esta base é chamada de base diagonal ou base nula. O número split-complexo pode ser escrito na base nula como
Se denotarmos o número para números reais e por , então zero é , um é , a adição split-complexa é dada por
e a multiplicação split-complexa é dada por
O conjugado split-complexo na base diagonal é dado por
e o módulo ao quadrado por
Isomorfismo direita|200px|thumb|Este diagrama comutativo relaciona a ação do versor hiperbólico em ao mapeamento de contração aplicado a
Na base {e, e*} torna-se claro que os números split-complexos são isomorfos a anéis à soma direta com adição e multiplicação definidas aos pares.
A base diagonal para o plano dos números split-complexos pode ser invocada usando um par ordenado para e fazendo o mapeamento
Agora a forma quadrática é Além disso,
então as duas hipérboles parametrizadas são postas em correspondência com .
A ação do versor hiperbólico corresponde então sob esta transformação linear a um mapeamento de contração
Embora estejam na mesma classe de isomorfismo na categoria de anéis, o plano split-complexo e a soma direta de duas retas reais diferem em sua disposição no plano cartesiano. O isomorfismo, como um mapeamento planar, consiste em uma rotação anti-horária de 45° e uma dilatação por . A dilatação em particular tem causado às vezes confusão em conexão com áreas de um setor hiperbólico. De fato, o ângulo hiperbólico corresponde à área de um setor no plano com seu "círculo unitário" dado por A hipérbole unitária contraída do plano split-complexo tem apenas metade da área no vão de um setor hiperbólico correspondente. Tal confusão pode ser perpetuada quando a geometria do plano split-complexo não é distinguida daquela de .
Geometria
thumb|
Um espaço vetorial real bidimensional com o produto interno de Minkowski é chamado de espaço de Minkowski -dimensional, frequentemente denotado Assim como grande parte da geometria do plano euclidiano pode ser descrita com números complexos, a geometria do plano de Minkowski pode ser descrita com números split-complexos.
O conjunto de pontos
é uma hipérbole para todo não nulo em A hipérbole consiste em um ramo direito e esquerdo passando por e . O caso é chamado de hipérbole unitária. A hipérbole conjugada é dada por
com um ramo superior e inferior passando por e . A hipérbole e a hipérbole conjugada são separadas por duas assíntotas diagonais que formam o conjunto de elementos nulos:
Estas duas retas (às vezes chamadas de cone nulo) são perpendiculares em e têm inclinações ±1.
Os números split-complexos e são ditos hiperbolicamente ortogonais se . Embora análogo à ortogonalidade ordinária, particularmente como é conhecida com a aritmética de números complexos ordinários, esta condição é mais sutil. Ela forma a base para o conceito de hiperplano simultâneo no espaço-tempo.
O análogo da fórmula de Euler para números split-complexos é
Esta fórmula pode ser derivada de uma expansão em série de potências usando o fato de que o cosh tem apenas potências pares, enquanto o sinh tem potências ímpares.James Cockle (1848) On a New Imaginary in Algebra, Philosophical Magazine 33:438 Para todos os valores reais do ângulo hiperbólico , o número split-complexo tem norma 1 e está no ramo direito da hipérbole unitária. Números como foram chamados de versores hiperbólicos.
Como tem módulo 1, multiplicar qualquer número split-complexo por preserva o módulo de e representa uma rotação hiperbólica (também chamada de impulso de Lorentz ou mapeamento de contração). Multiplicar por preserva a estrutura geométrica, levando hipérboles a si mesmas e o cone nulo a si mesmo.
O conjunto de todas as transformações do plano split-complexo que preservam o módulo (ou equivalentemente, o produto interno) forma um grupo chamado de grupo ortogonal generalizado . Este grupo consiste nas rotações hiperbólicas, que formam um subgrupo denotado , combinado com quatro reflexões discretas dadas por
e
A aplicação exponencial
enviando para a rotação por é um isomorfismo de grupos, pois a fórmula exponencial usual se aplica:
Se um número split-complexo não está em uma das diagonais, então tem uma decomposição polar.
Propriedades algébricas Como uma álgebra quadrática, os números split-complexos podem ser descritos como o quociente de um anel de polinômios por um ideal, neste caso gerado pelo polinômio
A imagem de no quociente é a unidade hiperbólica . Com esta descrição, fica claro que os números split-complexos formam uma álgebra comutativa sobre os números reais. A álgebra não é um corpo, pois os elementos nulos não são invertíveis. Todos os elementos nulos não nulos são divisores de zero.
Como a adição e a multiplicação são operações contínuas com respeito à topologia usual do plano, os números split-complexos formam um anel topológico.
A álgebra dos números split-complexos forma uma álgebra de composição, pois
para quaisquer números e .
A partir da definição, é aparente que o anel dos números split-complexos é isomorfo ao anel de grupo do grupo cíclico sobre os números reais .
Elementos da componente identidade no grupo de unidades em D têm quatro raízes quadradas: digamos são raízes quadradas de p. Além disso, também são raízes quadradas de p.
Os idempotentes são suas próprias raízes quadradas, e a raiz quadrada de
Representações matriciais Usando os conceitos de matrizes e multiplicação de matrizes, números split-complexos podem ser representados em álgebra linear. A unidade real e a unidade hiperbólica podem ser representadas por qualquer par de matrizes e satisfazendo e com . Então um número split-complexo pode ser representado pela matriz e todas as regras ordinárias da aritmética split-complexa podem ser derivadas das regras da aritmética matricial.
A escolha mais comum é representar e pela matriz identidade e pela matriz ,
Então um número split-complexo arbitrário pode ser representado por:
Mais geralmente, qualquer matriz real com traço zero e determinante negativo que seja um quadrado de poderia ser escolhida para . Independentemente disso, , o módulo ao quadrado do número split-complexo.
Matrizes maiores também poderiam ser usadas; por exemplo, poderia ser representado pela matriz identidade e poderia ser representado pela matriz de Dirac .
História O uso de números split-complexos remonta a 1848, quando James Cockle revelou seus tessarinos.James Cockle (1849) On a New Imaginary in Algebra 34:37–47, London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine (3) 33:435–9, link da Biodiversity Heritage Library. William Kingdon Clifford usou números split-complexos para representar somas de spins. Clifford introduziu o uso de números split-complexos como coeficientes em uma álgebra de quaterniões agora chamada de split-biquaterniões. Ele chamou seus elementos de "motores", um termo em paralelo com a ação "rotor" de um número complexo ordinário tomado do grupo circular. Estendendo a analogia, funções de uma variável motora contrastam com funções de uma variável complexa ordinária.
Desde o final do século XX, a multiplicação split-complexa tem sido comumente vista como um impulso de Lorentz de um plano espácio-temporal.Francesco Antonuccio (1994) Semi-complex analysis and mathematical physicsF. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) The Mathematics of Minkowski Space-Time, Birkhäuser Verlag, Basel. Capítulo 4: Trigonometria no plano de Minkowski. .Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36.Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane, também publicado em College Mathematics Journal 26:268–80. Nesse modelo, o número representa um evento em um plano espácio-temporal, onde x é medido em segundos e em segundos-luz. O futuro corresponde ao quadrante de eventos , que tem a decomposição polar split-complexa . O modelo diz que pode ser alcançado a partir da origem entrando em um referencial de rapidez e esperando segundos. A equação split-complexa expressando produtos na hipérbole unitária ilustra a aditividade das rapidezes para velocidades colineares. A simultaneidade de eventos depende da rapidez ; é a linha de eventos simultâneos com a origem no referencial com rapidez a.
Dois eventos e são hiperbolicamente ortogonais quando . Eventos canônicos e são hiperbolicamente ortogonais e estão nos eixos de um referencial no qual os eventos simultâneos com a origem são proporcionais a .