Um operador autoadjunto, é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.
Propriedades
Um operador é autoadjunto se e somente seHermitian Conjugate of an Operator
Todo autovalor de um operador autoadjunto é real:
Se e são autovalores diferentes associados a autovetores e . Então :
Como e são distintos, temos , portanto .
Aplicação do hermitiano na mecânica quântica Dizer que duas funções diferentes e são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:
para
Prova da ortogonalidade de funções de onda Sejas duas autofunções e correspondentes a dois valores diferentes de energia e respectivamente. Podemos então escrever: e e
Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:
Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.
Operador Linear
No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.
Teorema Considere uma matriz Hermitiana de ordem , um inteiro com e uma submatriz principal de ordem de (obtida removendo linhas e suas colunas correspondentes de ). Para cada inteiro tal que , obtemos
Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.
Categoria:Análise funcional
ca:Operador hermític de:Hermitescher Operator es:Operador hermítico zh:自伴算子 he:אופרטור הרמיטי