miniaturadaimagem|Progressão geométrica descendente com proporção de 1/4 e prova visual de que o limite da soma das frases é 1/3. Em matemática, uma série geométrica é uma série que soma os termos de uma progressão geométrica infinita, na qual a razão dos termos consecutivos é constante. Por exemplo, a série é uma série geométrica com razão igual a em que a soma de todos os termos converge para . Cada termo em uma série geométrica é a média geométrica do termo anterior e do termo posterior, da mesma forma que cada termo de uma progressão aritmética é a média aritmética de seus vizinhos.
O paradoxo do filósofo grego Zenão sobre o tempo e o movimento (século V a.C.) foi interpretado como relacionado a séries geométricas, mas essas séries só foram formalmente estudadas e aplicadas um ou dois séculos depois pelos matemáticos gregos. Um exemplo notável é o uso feito por Arquimedes no cálculo da área no interior de uma parábola (século III a.C.). Atualmente, as séries geométricas têm aplicações em matemática financeira, no cálculo de áreas de fractais e em diversos tópicos da ciência da computação.
Embora as séries geométricas sejam mais frequentemente associadas a números reais e números complexos, elas também possuem resultados e aplicações importantes em contextos mais amplos, como séries geométricas com valores matriciais, valores funcionais, números p-ádicos, além de elementos de corpos algébricos abstratos, anéis e semianéis.
Definição e exemplos A série geométrica é uma série infinita derivada de um tipo especial de sequência chamada progressão geométrica. Isso significa que é a soma de um número infinito de termos de uma progressão geométrica: a partir do termo inicial , e o seguinte sendo o termo inicial multiplicado por um número constante conhecido como razão comum . Multiplicando continuamente cada termo por uma razão comum, a série geométrica pode ser definida matematicamente como:
A soma de um segmento inicial finito de uma série geométrica infinita é chamada de série geométrica finita, ou seja:
Quando , chama-se frequentemente de taxa de crescimento ou taxa de expansão. Quando , denota-se frequentemente de taxa de decaimento ou taxa de contração, em que a ideia de que se trata de uma "taxa" resulta da interpretação de como uma espécie de variável temporal discreta. Quando uma área de aplicação tem vocabulário especializado para tipos específicos de crescimento, expansão, contração e decaimento, esse vocabulário também é frequentemente usado designar os parâmetros das séries geométricas. Em economia, por exemplo, as taxas de aumento e diminuição dos níveis de preços são designadas por taxas de inflação e taxas de deflação, enquanto as taxas de aumento dos valores dos investimentos incluem taxas de rentabilidade e taxas de juros.
thumb|upright=1|A série geométrica é mostrada como áreas de quadrados roxos. Cada um dos quadrados roxos tem da área do próximo quadrado maior , , e assim por diante. Assim, a soma da área dos quadrados roxos é um terço da área do quadrado grande.
Ao somar um número infinito de termos, a série geométrica pode ser convergente ou divergente. Convergência significa que existe um valor após a soma de infinitos termos, enquanto que divergência significa que não existe valor após a soma. A convergência de uma série geométrica pode ser descrita em função do valor de uma razão comum, ver . A série de Grandi é um exemplo de uma série divergente que pode ser expressa como , em que o termo inicial é e a razão comum é ; isso deve-se ao fato de ter três valores diferentes.
Os números decimais que têm padrões repetidos que continuam para sempre podem ser interpretados como séries geométricas e, assim, convertidos em expressões da razão de dois números inteiros. Por exemplo, a fração decimal repetida pode ser escrita como a série geométrica:
em que o termo inicial é e a razão comum é .
Convergência da série e sua prova A convergência da sequência infinita de somas parciais de uma série geométrica infinita depende apenas da magnitude da razão :
Se , os termos da série se aproximam de zero (tornando-se cada vez menores em magnitude) e a sequência de somas parciais converge para um valor limite de . Se , os termos da série se tornam cada vez maiores em magnitude e as somas parciais dos termos também ficam cada vez maiores em magnitude, então a série diverge. Se , os termos da série não se tornam maiores ou menores em magnitude e a sequência de somas parciais da série não converge. Quando , todos os termos da série são os mesmos e cresce até o infinito. Quando , os termos assumem dois valores e alternadamente e, portanto, a sequência de somas parciais dos termos oscila entre os dois valores e 0. Um exemplo pode ser encontrado na série de Grandi. Quando e , as somas parciais circulam periodicamente entre os valores , nunca convergindo para um limite. Geralmente quando para qualquer inteiro e com qualquer , as somas parciais da série circularão indefinidamente com um período de , nunca convergindo para um limite.
A taxa de convergência mostra como a sequência se aproxima rapidamente de seu limite. No caso da série geométrica — a sequência relevante é e seu limite é — a taxa e a ordem são encontradas por meio de
onde representa a ordem de convergência. Usando e escolhendo a ordem de convergência resulta:
Quando a série converge, a taxa de convergência fica mais lenta à medida que se aproxima de . O padrão de convergência também depende do sinal ou do argumento complexo da razão comum. Se e , então todos os termos compartilham o mesmo sinal e as somas parciais dos termos se aproximam monotonicamente de seu limite final. Se e , os termos adjacentes na série geométrica alternam entre positivo e negativo, e as somas parciais dos termos oscilam acima e abaixo de seu limite final . Para complexo e , o somatório converge em um padrão espiralado.
A convergência é provada da seguinte forma. A soma parcial dos primeiros termos de uma série geométrica, que segue até o termo ,
é dada pela forma fechada
onde é a razão comum. O caso é meramente uma adição simples, um caso de uma série aritmética. A fórmula para as somas parciais com pode ser derivada da seguinte forma:
para . Conforme se aproxima de 1, a divisão polinomial ou regra de l'Hôpital recupera o caso .
thumb|Demonstração sem palavras da fórmula para a soma de uma série geométrica se e , o termo desaparece, deixando . Esta figura usa uma convenção ligeiramente diferente para do que o texto principal, deslocado por um termo.
À medida que se aproxima do infinito, o valor absoluto de deve ser menor que 1 para que essa sequência de somas parciais convirja para um limite. Quando isso acontece, a série converge absolutamente. A série infinita então se torna
para .
Esse resultado de convergência é amplamente aplicado para provar a convergência de outras séries também, sempre que os termos dessas séries puderem ser limitados a partir de cima por uma série geométrica adequada. Essa estratégia de prova é a base para o teste da razão e o teste da raiz para a convergência de séries infinitas.
Conexão com a série de potências Assim como a série geométrica, uma série de potências tem um parâmetro para uma variável comum elevada a potências sucessivas correspondentes ao da série geométrica, mas possui parâmetros adicionais , um para cada termo da série, para os coeficientes distintos de cada , em vez de apenas um único parâmetro adicional para todos os termos, o coeficiente comum de em cada termo de uma série geométrica. A série geométrica pode, portanto, ser considerada uma classe de séries de potências em que a sequência de coeficientes satisfaz para todos e .
Essa classe especial de séries de potências desempenha um papel importante na matemática, por exemplo, no estudo de funções geradoras ordinárias em combinatória e na soma de séries divergentes em análise. Muitas outras séries de potências podem ser escritas como transformações e combinações de séries geométricas, tornando a fórmula da série geométrica uma ferramenta conveniente para calcular fórmulas para essas séries de potências.
Como uma série de potências, a série geométrica tem um raio de convergência de 1. Isso pode ser visto como uma consequência do teorema de Cauchy–Hadamard e do fato de que
para qualquer ou como uma consequência do teste da razão para a convergência de séries infinitas, com
,
implicando na convergência apenas para . No entanto, tanto o teste da razão quanto o teorema de Cauchy-Hadamard são provados usando a fórmula da série geométrica como um resultado logicamente anterior, então tal raciocínio seria sutilmente circular.
Histórico Há 2500 anos, os matemáticos gregos acreditavam que uma lista infinitamente longa de números positivos deveria somar até ao infinito. Portanto, Zenão de Eleia criou um paradoxo, demonstrando o seguinte: para ir de um lugar a outro, é preciso primeiro percorrer metade da distância até lá, depois metade da distância restante, e assim por diante, percorrendo infinitos intervalos antes de chegar. Ao fazer isso, ele dividiu uma distância fixa em uma lista infinitamente longa de distâncias restantes divididas pela metade, cada uma com um comprimento maior que zero. O paradoxo de Zenão revelou aos gregos que sua suposição sobre uma lista infinitamente longa de números positivos precisando somar até ao infinito estava incorreta.
O Elementos de Euclides tem a distinção de ser o livro-texto matemático mais antigo do mundo usado continuamente, e inclui uma demonstração da soma de séries geométricas finitas no Livro IX, Proposição 35, ilustrado em uma figura adjacente.
Arquimedes, em seu A Quadratura da Parábola, usou a soma de uma série geométrica para calcular a área delimitada por uma parábola e por uma linha reta. O teorema de Arquimedes afirma que a área total sob a parábola é da área do triângulo azul. Seu método consistia em dissecar a área em triângulos infinitos, como mostrado na figura ao lado. Ele determinou que cada triângulo verde teria da área do triângulo azul, cada triângulo amarelo teria a área de um triângulo verde, e assim por diante. Supondo que o triângulo azul tivesse área igual a 1, então, a área total seria a soma da série infinita, isto é,
Aqui, o primeiro termo representaria a área do triângulo azul, o segundo termo seria a área dos dois triângulos verdes, o terceiro termo seria a área dos quatro triângulos amarelos, e assim por diante. Simplificando as frações, temos
que se trata de uma série geométrica com razão e sua soma é:
thumb|Um diagrama de série geométrica bidimensional que Nicolau Oresme usou para determinar que a série infinita converge para 2. Além de sua prova da divergência da série harmônica, Nicolau de Oresme demonstrou a série aritmético-geométrica conhecida como Escadaria de Gabriel, dada por
O diagrama de sua prova geométrica, semelhante ao diagrama ao lado, mostra uma série geométrica bidimensional. A primeira dimensão é horizontal, na linha inferior, representando a série geométrica com valor inicial e razão
A segunda dimensão é vertical, em que a linha inferior é um novo termo inicial e cada linha subsequente acima dela diminui de acordo com a mesma razão , formando outra série geométrica com soma , ou seja,
Essa abordagem se generaliza de forma útil para dimensões mais altas, e essa generalização é descrita abaixo em .
Aplicações