O teorema da contração estabelece a existência e unicidade de pontos fixos para aplicação contrativas em espaços métricos completos compactos. É muito semelhante com o teorema do ponto fixo de Banach, porém não exige que a contração seja uniforme mas exige que o espaço seja compacto.
Definições e enunciado Seja um espaço métrico completo compacto e uma aplicação.
Diz-se que é uma contração se:
O teorema afirma que então existe um único ponto tal que:
Observe que toda contração é uma função contínua.
Demonstração da unicidade Suponha que admita dois pontos fixos diferentes e . Então: , um absurdo.
Demonstração da existência Defina a função auxiliar como:
Esta função é contínua, pois o é, logo assume um mínimo no compacto :
, para algum .
Resta-nos mostrar que é um ponto fixo de , o que equivale a mostrar que .
Mas, , se acontecer a desigualdade estrita , podemos definir e temos: , assim , do fato de ser mínimo. , um absurdo. E o resultado segue.
Ver também Teorema do ponto fixo de Banach Ponto fixo
Contração Contração