miniaturadaimagem|representação gráfica do Teorema do ponto fixo de Brouwer Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer.
O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o teorema do ponto fixo de Schaefer.
Enunciado Seja a bola unitária fechada em e uma função contínua. Então existe um ponto fixo , ou seja:
Observações O conjunto pode ser substituído por qualquer outro conjunto fechado, limitado e convexo. Não se faz nenhuma exigência quanto ao fato de ser injetiva ou sobrejetiva. Este é um teorema de existência pura, ao contrário do teorema do ponto fixo de Banach que possui uma prova construtiva.
Caso trivial em uma dimensão Seja contínua, então a função também é contínua. Ainda:
Portanto existe pelo menos um ponto tal que pelo teorema do valor intermediário. O que implica e o resultado segue.
De uma maneira mais geral:
Seja contínua. Então a função também é contínua. Ainda. já que o contradomínio de é o intervalo :
(pois );
(pois );
Logo, vale que e pelo teorema do valor intermediário temos que existe tal que e portanto
Dugundji, James. Topology. 1aedição. Boston: Allyn and Bacon, 1965 Evans, C. Lawrence. Partial Differential Equations. 3aedição. Providence, RI: AMS, 2002
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