O Teorema de Hahn-Banach é um dos principais resultados da Análise Funcional na Matemática. O Teorema apresenta condições para que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos para todo o espaço. Aplicado para espaços normados, garante que exista um determinado funcional linear, contribuindo para a Teoria de Espaços Duais, que representa uma importante área da Teoria de Espaços Normados.
O Teorema foi inicialmente deduzido por H. Hahn (1927). Foi então apresentado em sua forma geral por Stefan Banach (1929) e generalizado para espaços vetoriais complexos por H. F. Bohnenblust e A. Sobczyk (1938).
Resultados Preliminares
Conjunto parcialmente ordenado Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto no qual é definida uma ordem parcial, ou seja, uma relação binária representada por que satisfaz as seguintes condições:
para todo ; Se e , então ; Se e , então .
Lema de Zorn O Lema de Zorn é um axioma da Teoria dos Conjuntos, equivalente ao Axioma da Escolha. O lema pode ser apresentado como: se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.
Extensão Seja um objeto matemático (por exemplo, uma transformação linear) definido em um subconjunto de um conjunto . Uma extensão busca definir o objeto em todo o conjunto , preservando determinadas propriedades válidas no subconjunto .
No teorema de Hahn-Banach, o objeto a ser estendido é um funcional linear f definido em um subespaço de um espaço vetorial .
Funcional Sublinear Um funcional sublinear é uma função de valor real definida em um espaço vetorial X com as seguintes propriedades:
para todo ; para todo , e para todo .
Enunciado do Teorema de Hahn-Banach O Teorema de Hahn-Banach pode ser assim enunciado:
Teorema de Hahn-Banach: Seja um espaço vetorial no campo dos número reais e um funcional sublinear em . Seja ainda um funcional linear definido em um subespaço de que satisfaça para todo . Então possui uma extensão linear de para , ou seja, para todo e para todo .
Demonstração A demonstração pode ser encontrada em . Em termos gerais, inicialmente demonstra-se que o conjunto de todas as extensões lineares de que satisfazem pode ser parcialmente ordenado. Após isso, mostra-se que todo subconjunto de que seja totalmente ordenado possui uma cota superior. Então, pelo Lema de Zorn, existe um elemento maximal de . Em seguida, mostra-se que o domínio dessa extensão é, de fato, o espaço . Portanto, conclui-se que é a extensão linear de dita no enunciado do teorema, e a demonstração é concluída.
Outras Versões do Teorema
Espaços Vetoriais Complexos O Teorema de Hahn-Banach para espaços vetoriais complexos pode ser enunciado da seguinte forma:
"Seja um espaço vetorial no campo dos número reais ou dos números complexos e um funcional em de valor real que satisfaça as seguintes condições:
para todo ; para todo escalar e para todo .
Seja ainda um funcional linear definido em um subespaço de que satisfaça para todo . Então possui uma extensão linear de para , ou seja, satisfaz para todo e para todo ."
A demonstração segue de maneira análoga à demonstração da versão real do teorema.
Espaços Normados O Teorema de Hahn-Banach para espaços normados pode ser enunciado da seguinte forma:
"Seja um funcional linear definido em um subespaço de um espaço normado . Então existe um funcional linear limitado em que é uma extensão de para e que possui a mesma norma, ou seja, ."
A demonstração pode ser realizada a partir da primeira versão do teorema com .
Versão Geométrica A versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach pode ser assim enunciada:
"Seja um espaço normado e um subconjunto convexo e fechado de . Dado , , existe um funcional linear limitado que satisfaz para todo ."
A demonstração segue a partir da definição de Funcional de Minkowski.
Consequências do Teorema de Hahn-Banach
Funcionais Lineares Limitados A partir do Teorema de Hahn-Banach, obtém-se o seguinte resultado:
"Seja um espaço normado e , . Então existe um funcional linear limitado em que satisfaz e ."
A demonstração pode ser feita a partir da versão do Teorema para Espaços Normados, considerando o subespaço de todos os elementos , no qual é um número escalar, e definindo em o funcional .
Norma de um vetor Outro resultado obtido a partir do Teorema de Hahn-Banach é dado por:
"Seja um espaço normado e um vetor de , então , para todo funcional linear de , ."
Teorema de Philips O Teorema de Philips é pode ser considerado uma versão do Teorema de Hahn-Banach para transformações lineares:
"Seja um espaço normado e um subespaço de . Seja ainda uma transformação linear limitada definida em cuja imagem está no espaço . Então existe a extensão definida em , com imagem em , que satisfaz para todo e .
Referências
Categoria:Análise funcional Hahn-Banach