thumb|direita|Os arranjos possíveis do brinquedo A Vingança de Rubik (versão 4x4x4 do Cubo de Rubik) formam um grupo.
Em matemática, um grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo: associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os números inteiros munidos da adição formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em inúmeras áreas - dentro e fora da matemática - os tornam um princípio organizador central da matemática contemporânea.
Grupos compartilham um parentesco fundamental com a noção de simetria. Um grupo de simetria guarda informações sobre as simetrias de um objeto geométrico. Ele consiste do conjunto de transformações que preservam o objeto inalterado e a operação de combinar duas dessas transformações aplicando-as uma após a outra. Tais grupos de simetria, particularmente os grupos de Lie contínuos, têm um importante papel em muitas disciplinas. Grupos de matrizes, por exemplo, podem ser usados para compreender leis físicas fundamentais da relatividade especial e fenômenos em química molecular.
O conceito de grupo emergiu do estudo de equações de polinômios com Évariste Galois na década de 1830. Após contribuições vindas de outros ramos da matemática, como teoria dos números e geometria, a noção de grupo foi generalizada e se estabeleceu firmemente por volta de 1870. A teoria dos grupos moderna - uma área muito ativa de pesquisa - estuda os grupos em si mesmos. Para explorá-los, matemáticos formularam várias noções para quebrar grupos em partes menores e mais compreensíveis, como subgrupos, grupos quocientes e grupos simples. Além das propriedades abstratas, matemáticos estudam as diferentes maneiras em que um grupo pode ser expresso concretamente (as representações do grupo), tanto de um ponto-de-vista teorético quanto prático-computacional. Em particular, uma teoria ricamente desenvolvida é a dos grupos finitos, que culminou com a monumental classificação dos grupos simples finitos, completada em 1983.
Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e espaços vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por estas razões, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações em Física Matemática, por exemplo em física de partículas.
Definição e ilustração Primeiro exemplo: os inteiros Um dos grupos mais familiares é o conjunto dos inteiros
junto com a adição. Para quaisquer dois inteiros e , a soma também é um inteiro; esta propriedade de fechamento diz que a é uma operação binária em . As seguintes propriedades da adição de inteiros servem como um modelo para os axiomas de grupo na definição abaixo. Para todos os inteiros , e , tem-se . Expresso em palavras, adicionar e primeiro, e depois adicionar o resultado a dá o mesmo resultado final que adicionar à soma de e . Esta propriedade é conhecida como associatividade. Se é um inteiro qualquer, então e . O zero é chamado de elemento neutro da adição porque adicioná-lo a qualquer inteiro retorna o mesmo inteiro. Para todo inteiro , existe um inteiro tal que e . O inteiro é chamado de elemento inverso (ou oposto) do inteiro e é denotado por .
Os inteiros, junto com a operação , formam um objeto matemático pertencente a uma ampla classe que compartilha aspectos estruturais semelhantes. Para entender adequadamente essas estruturas como um coletivo, a seguinte definição é desenvolvida.
Definição Um grupo é um conjunto junto com uma operação binária em , aqui denotada por "", que combina quaisquer dois elementos e de para formar um elemento de , denotado por , tal que os três seguintes requisitos, conhecidos como axiomas de grupo, sejam satisfeitos:
Associatividade Para todos , , em , tem-se . Elemento neutro Existe um elemento em tal que, para todo em , tem-se e . Tal elemento é único. Ele é chamado de elemento neutro (ou às vezes elemento identidade) do grupo. Elemento inverso Para cada em , existe um elemento em tal que e , onde é o elemento neutro. Para cada , o elemento é único; ele é chamado de o inverso de e é comumente denotado por .
Nota: A unicidade do elemento neutro e a unicidade dos elementos inversos não fazem parte dos axiomas; elas são consequências dos três axiomas.
Notação e terminologia Formalmente, um grupo é um par ordenado de um conjunto e uma operação binária neste conjunto que satisfaz os axiomas de grupo. O conjunto é chamado de conjunto subjacente do grupo, e a operação é chamada de operação de grupo ou lei de grupo.
Um grupo e seu conjunto subjacente são, portanto, dois objetos matemáticos diferentes. Para evitar uma notação pesada, é comum cometer um abuso de notação usando o mesmo símbolo para denotar ambos. Isso também reflete uma forma informal de pensar: de que o grupo é o mesmo que o conjunto, exceto por ter sido enriquecido por uma estrutura adicional fornecida pela operação.
Por exemplo, considere o conjunto dos números reais , que possui as operações de adição e multiplicação . Formalmente, é um conjunto, é um grupo, e é um corpo. Mas é comum escrever para denotar qualquer um desses três objetos.
O grupo aditivo do corpo é o grupo cujo conjunto subjacente é e cuja operação é a adição. O grupo multiplicativo do corpo é o grupo cujo conjunto subjacente é o conjunto dos números reais não nulos e cuja operação é a multiplicação.
De modo mais geral, fala-se de um grupo aditivo sempre que a operação do grupo é notada como adição; neste caso, a identidade é tipicamente denotada por , e o inverso de um elemento é denotado por . Semelhantemente, fala-se de um grupo multiplicativo sempre que a operação do grupo é notada como multiplicação; neste caso, a identidade é tipicamente denotada por , e o inverso de um elemento é denotado por . Em um grupo multiplicativo, o símbolo da operação é frequentemente omitido por completo, de modo que a operação é denotada por justaposição, em vez de .
A definição de um grupo não exige que para todos os elementos e em . Se essa condição adicional for válida, então a operação é dita ser comutativa, e o grupo é chamado de grupo abeliano. É uma convenção comum que, para um grupo abeliano, pode-se usar tanto a notação aditiva quanto a multiplicativa, mas para um grupo não abeliano utiliza-se apenas a notação multiplicativa.
Várias outras notações são comumente usadas para grupos cujos elementos não são números. Para um grupo cujos elementos são funções, a operação é frequentemente a composição de funções ; então o elemento neutro pode ser denotado por id. Nos casos mais específicos de grupos de transformações geométricas, grupos de simetria, grupos de permutações e grupos de automorfismos, o símbolo é frequentemente omitido, assim como para grupos multiplicativos. Muitas outras variantes de notação podem ser encontradas.
Segundo exemplo: um grupo de simetria
Duas figuras no plano são congruentes se uma pode ser transformada na outra usando uma combinação de rotações, reflexões e translações. Qualquer figura é congruente a si mesma. No entanto, algumas figuras são congruentes a si mesmas de mais de uma maneira, e essas congruências extras são chamadas de simetrias. Um quadrado tem oito simetrias. Elas são: a operação identidade que deixa tudo inalterado, denotada por ; rotações do quadrado em torno de seu centro em 90°, 180° e 270° no sentido horário, denotadas por , e , respectivamente; reflexões em torno da linha média horizontal e vertical ( e ), ou através das duas diagonais ( e ).
Essas simetrias são funções. Cada uma envia um ponto no quadrado para o ponto correspondente sob a simetria. Por exemplo, envia um ponto para sua rotação de 90° no sentido horário em torno do centro do quadrado, e envia um ponto para sua reflexão através da linha média vertical do quadrado. Compor duas dessas simetrias dá outra simetria. Essas simetrias determinam um grupo chamado de grupo diedral de grau quatro, denotado por . O conjunto subjacente do grupo é o conjunto de simetrias acima, e a operação do grupo é a composição de funções. Duas simetrias são combinadas compondo-as como funções, isto é, aplicando a primeira ao quadrado e a segunda ao resultado da primeira aplicação. O resultado de realizar primeiro e depois é escrito simbolicamente da direita para a esquerda como ("aplicar a simetria depois de realizar a simetria "). Esta é a notação usual para a composição de funções.
Uma tabela de Cayley lista os resultados de todas essas composições possíveis. Por exemplo, rotacionar 270° no sentido horário () e depois refletir horizontalmente () é o mesmo que realizar uma reflexão ao longo da diagonal (). Usando os símbolos acima, destacados em azul na tabela de Cayley:
+ Tabela de Cayley de Os elementos , , e formam um subgrupo cuja tabela de Cayley é destacada em vermelho (região superior esquerda). Uma classe lateral à esquerda e à direita deste subgrupo são destacadas em verde (na última linha) e amarelo (última coluna), respectivamente. O resultado da composição , a simetria , é destacado em azul (abaixo do centro da tabela). Dado este conjunto de simetrias e a operação descrita, os axiomas de grupo podem ser entendidos da seguinte forma: Operação binária: A composição é uma operação binária. Isto é, é uma simetria para quaisquer duas simetrias e . Por exemplo, Ou seja, rotacionar 270° no sentido horário após refletir horizontalmente é igual a refletir ao longo da contra-diagonal (). De fato, todas as outras combinações de duas simetrias ainda dão uma simetria, como pode ser verificado usando a tabela de Cayley. Associatividade: O axioma de associatividade lida com a composição de mais de duas simetrias: Começando com três elementos , e de , existem duas maneiras possíveis de usar essas três simetrias nesta ordem para determinar uma simetria do quadrado. Uma dessas maneiras é primeiro compor e em uma única simetria, e depois compor essa simetria com . A outra maneira é primeiro compor e , e depois compor a simetria resultante com . Essas duas maneiras devem sempre dar o mesmo resultado, isto é, Por exemplo, pode ser verificado usando a tabela de Cayley: Elemento neutro: O elemento neutro é , pois ele não altera nenhuma simetria quando composto com ela, seja à esquerda ou à direita. Elemento inverso: Cada simetria tem um inverso: , as reflexões , , , e a rotação de 180° são seus próprios inversos, porque realizá-los duas vezes traz o quadrado de volta à sua orientação original. As rotações e são inversos uma da outra, porque rotacionar 90° e depois rotacionar 270° (ou vice-versa) resulta em uma rotação de 360° que deixa o quadrado inalterado. Isso é facilmente verificado na tabela. Em contraste com o grupo de inteiros acima, onde a ordem da operação é imaterial, ela importa em , pois, por exemplo, , mas . Em outras palavras, não é abeliano.
Consequências elementares dos axiomas de grupo Fatos básicos sobre todos os grupos que podem ser obtidos diretamente a partir dos axiomas de grupo são comumente englobados pela teoria elementar de grupos. Por exemplo, aplicações repetidas do axioma da associatividade mostram que a falta de ambiguidade de
se generaliza para mais de três fatores (por exemplo, também não é ambíguo). Como isso implica que os parênteses podem ser inseridos em qualquer lugar dentro de tal série de termos, eles são geralmente omitidos.
Unicidade do elemento neutro