direita|moldura|Um atlas de cartas não diferenciável para o globo terrestre. Os resultados do cálculo podem não ser compatíveis entre cartas se o atlas não for diferenciável. Nas cartas central e da direita, o Trópico de Câncer é uma curva suave, enquanto na carta da esquerda apresenta um vértice pontiagudo. A noção de variedade diferenciável refina a de variedade ao exigir que as funções de transição entre cartas sejam diferenciáveis.
Na matemática, uma variedade diferenciável (também denominada variedade diferencial) é um tipo de variedade localmente semelhante o bastante a um espaço vetorial para permitir a aplicação do cálculo. Qualquer variedade pode ser descrita por uma coleção de cartas (atlas). Pode-se, então, aplicar noções do cálculo ao trabalhar no interior das cartas individuais, uma vez que cada carta se situa em um espaço vetorial no qual se aplicam as regras habituais do cálculo. Se as cartas forem adequadamente compatíveis (a saber, se a transição de uma carta para outra for diferenciável), então os cálculos efetuados em uma carta são válidos em qualquer outra carta compatível.
Em termos formais, uma variedade diferenciável é uma variedade topológica dotada de uma estrutura diferencial globalmente definida. Toda variedade topológica pode receber uma estrutura diferencial localmente por meio dos homeomorfismos de seu atlas e da estrutura diferencial padrão em um espaço vetorial. Para induzir uma estrutura diferencial global sobre os sistemas de coordenadas locais gerados pelos homeomorfismos, as suas composições nas interseções de cartas no atlas devem ser funções diferenciáveis no espaço vetorial correspondente. Em outras palavras, onde os domínios de duas cartas se sobrepõem, exige-se que as coordenadas definidas por cada carta sejam diferenciáveis em relação às coordenadas definidas por qualquer outra carta do atlas. As aplicações que relacionam as coordenadas definidas pelas várias cartas entre si são chamadas de aplicações de transição (ou funções de transição).
A capacidade de definir tal estrutura diferencial local sobre um espaço abstrato permite estender a definição de diferenciabilidade a espaços desprovidos de sistemas globais de coordenadas. Uma estrutura diferencial local possibilita definir globalmente o espaço tangente diferenciável, funções diferenciáveis, bem como campos de tensores e vetores diferenciáveis.
As variedades diferenciáveis são de fundamental importância na física. Classes especiais de variedades diferenciáveis constituem a base de teorias físicas como a mecânica clássica, a relatividade geral e a teoria de Yang-Mills. É possível desenvolver um cálculo sobre variedades diferenciáveis, o que conduz a estruturas matemáticas como o cálculo exterior. O estudo do cálculo sobre variedades diferenciáveis é denominado geometria diferencial.
À «diferenciabilidade» de uma variedade têm sido atribuídos diversos significados, incluindo: continuamente diferenciável, $k$ vezes diferenciável, suave (que por sua vez admite múltiplos significados) e analítica.
História
A emergência da geometria diferencial como disciplina autônoma é atribuída principalmente a Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann. Riemann descreveu pioneiramente as variedades em sua célebre conferência de habilitação perante a faculdade da Universidade de Göttingen.B. Riemann (1867). Ele introduziu a ideia de variedade por meio de um processo intuitivo de variação de um dado objeto em uma nova direção, e descreveu profeticamente o papel dos sistemas de coordenadas e cartas em desenvolvimentos formais posteriores: Tendo construído a noção de uma multiplicidade de n dimensões e constatado que seu verdadeiro caráter consiste na propriedade de que a determinação da posição nela pode ser reduzida a n determinações de grandeza, ... – B. Riemann
Os trabalhos de físicos como James Clerk MaxwellO próprio Maxwell trabalhou com quaternions em vez de tensores, mas suas equações para o eletromagnetismo foram empregadas como um dos primeiros exemplos do formalismo tensorial; ver . e dos matemáticos Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-CivitaVer G. Ricci (1888), G. Ricci e T. Levi-Civita (1901), T. Levi-Civita (1927). conduziram ao desenvolvimento do análise tensorial e à noção de covariância, que identifica uma propriedade geométrica intrínseca como aquela invariante sob transformações de coordenadas. Essas ideias encontraram aplicação crucial na teoria da relatividade geral de Albert Einstein e em seu subjacente princípio da equivalência. A definição moderna de variedade bidimensional foi formulada por Hermann Weyl em seu livro de 1913 sobre superfícies de Riemann.Ver H. Weyl (1955). A definição geral amplamente aceita de variedade em termos de um atlas deve-se a Hassler Whitney.H. Whitney (1936).
Definição
Atlas
Seja um espaço topológico. Uma carta em consiste em um subconjunto aberto de e em um homeomorfismo de sobre um subconjunto aberto de algum espaço euclidiano . De modo informal, costuma-se referir a uma carta como , significando que a imagem de é um subconjunto aberto de e que é um homeomorfismo sobre sua imagem; na terminologia de alguns autores, isso pode indicar alternativamente que é em si um homeomorfismo sobre sua imagem.
A presença de uma carta sugere a possibilidade de aplicar o cálculo diferencial em ; por exemplo, dada uma função e uma carta em , pode-se considerar a composição , que é uma função com valores reais cujo domínio é um aberto euclidiano; assim, caso seja diferenciável, pode-se avaliar suas derivadas parciais.
Essa situação, contudo, não é plenamente satisfatória pela seguinte razão. Considere uma segunda carta em e suponha que e possuam interseção não vazia. As duas funções correspondentes e estão relacionadas pelo fato de que podem ser reparametrizadas uma na outra:sendo o domínio natural do lado direito o conjunto . Como e são homeomorfismos, decorre que é um homeomorfismo de sobre . Consequentemente, trata-se de uma função bicontínua; desse modo, mesmo que ambas as funções e sejam diferenciáveis, as suas propriedades diferenciais não estarão necessariamente vinculadas entre si, uma vez que não tem garantia de ser suficientemente diferenciável para possibilitar a aplicação da regra da cadeia. O mesmo problema se manifesta ao se considerar curvas , conduzindo à fórmula de reparametrizaçãorecaindo na mesma restrição anterior.
Essa inconsistência é superada pela introdução de um "atlas diferenciável", o qual especifica uma coleção de cartas em cujas aplicações de transição são todas diferenciáveis. Isso torna a teoria coerente: se for diferenciável, então, em virtude da primeira fórmula de reparametrização acima, a aplicação também será diferenciável na região , e vice-versa. Ademais, as derivadas dessas duas representações vinculam-se pela regra da cadeia usual. Em relação ao atlas fixado, estabelece-se de modo unívoco a noção de aplicações diferenciáveis cujo domínio ou contradomínio seja , bem como a noção de derivada de tais aplicações.
Formalmente, o termo "diferenciável" assume diferentes graus de regularidade na literatura; por vezes indica a existência de derivadas de primeira ordem, por vezes a continuidade dessas derivadas, ou a existência de infinitas derivadas. A tabela a seguir fornece a definição formal de várias acepções rigorosas de "atlas diferenciável". Em geral, "diferenciável" é empregado como termo abrangente para qualquer uma dessas possibilidades, desde que .
Dado um espaço topológico ... um atlas é uma coleção de cartas tal que cobre , e tal que para todos e em , a aplicação de transição é uma aplicação de classe um atlas suave ou é uma aplicação suave um atlas analítico ou é uma aplicação analítica real um atlas holomorfo é uma aplicação holomorfa
miniatura|direita|upright=1.1|A aplicação de transição entre duas cartas locais. denota e denota .
Como toda aplicação analítica real é suave, e toda aplicação suave é de classe para qualquer , constata-se que todo atlas analítico pode ser considerado um atlas suave, e todo atlas suave pode ser considerado um atlas . Essa cadeia estende-se aos atlas holomorfos, entendendo-se que qualquer aplicação holomorfa entre abertos de pode ser vista como uma aplicação analítica real entre abertos de .
Dado um atlas diferenciável em um espaço topológico, diz-se que uma carta é diferenciavelmente compatível com o atlas, ou diferenciável em relação ao atlas, se a inclusão dessa carta na coleção de cartas do atlas dado resultar ainda em um atlas diferenciável. Um atlas diferenciável determina um único atlas diferenciável maximal, constituído por todas as cartas que são diferenciavelmente compatíveis com ele. Um atlas maximal é sempre muito amplo: por exemplo, dada qualquer carta em um atlas maximal, a sua restrição a um subconjunto aberto arbitrário de seu domínio também pertencerá ao atlas maximal. Um atlas suave maximal é denominado uma estrutura suave; um atlas holomorfo maximal é denominado uma estrutura complexa.
Uma formulação equivalente, que dispensa o uso explícito de atlas maximais, consiste em considerar classes de equivalência de atlas diferenciáveis, nas quais dois atlas são ditos equivalentes se cada carta de um atlas for diferenciavelmente compatível com o outro. Na prática, isso significa que, ao lidar com uma variedade suave, pode-se trabalhar com um único atlas conveniente composto por poucas cartas, subentendendo-se que quaisquer outras cartas compatíveis são igualmente legítimas.
Pelo teorema da invariância do domínio, cada componente conexa de um espaço topológico que admite um atlas diferenciável possui uma dimensão bem definida. Isso acarreta uma particularidade no caso dos atlas holomorfos, visto que a dimensão correspondente será a metade do valor de sua dimensão quando considerado como atlas analítico, suave ou . Por essa razão, distingue-se a dimensão "real" da dimensão "complexa" de um espaço com atlas holomorfo.
Variedades
Uma variedade diferenciável é um espaço de Hausdorff e segundo-enumerável , munido de um atlas diferenciável maximal. Grande parte da teoria básica pode ser formulada sem as condições de Hausdorff e de segundo-enumerabilidade, embora elas sejam fundamentais para resultados avançados. Essas condições são equivalentes à existência geral de funções de transição suaves e partições da unidade, ambas empregadas universalmente na análise global.
A noção de variedade coincide com a de variedade topológica. Contudo, há uma distinção conceitual relevante: dado um espaço topológico, faz sentido indagar se ele é ou não uma variedade topológica; por outro lado, não faz sentido perguntar simplesmente se um dado espaço topológico é uma variedade suave, uma vez que a definição de variedade suave requer a especificação adicional de um atlas suave. Pode-se, todavia, indagar se um determinado espaço topológico admite ou não alguma estrutura de variedade suave. É possível reformular as definições partindo-se diretamente de um conjunto (em vez de um espaço topológico prévio), utilizando o análogo natural de um atlas suave para induzir sobre a sua própria topologia compatível.
Colagem de regiões euclidianas para formar uma variedade
É possível inverter as definições acima para obter uma perspectiva construtiva de variedades. A ideia consiste em partir das imagens das cartas e das aplicações de transição para construir a variedade abstrata puramente a partir desses dados locais.
Dado um conjunto de índices , seja uma coleção de subconjuntos abertos de e, para cada par , seja um subconjunto aberto (possivelmente vazio) de , e seja uma aplicação suave. Suponha que seja a aplicação identidade, que seja a identidade, e que a condição de cociclo se verifique: