thumb|Representação dos ternos pitagóricos com c<4500. A abcissa e ordenada correspondem ao números a e b e a distância à origem, o número c. Em matemática, nomeadamente em teoria dos números, um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras: se as medidas dos lados de um triângulo rectângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...
Os ternos pitagóricos apareceram em problemas na Matemática Babilônia na tabela Plimpton 322, escrita no Século XVIII a.C.Mathematical secrets of ancient tablet unlocked after nearly a century of study Dating from 1,000 years before Pythagoras’s theorem, the Babylonian clay tablet is a trigonometric table more accurate than any today, say researchers por Maev Kennedy (2017)Robson, Eleanor. "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322," em American Mathematical Monthly, February 2002, 109, pp. 105–119. Mathematical Association of America. e, posteriormente, foram estudados no período grego pelos pitagóricos e por Platão e aparecem de forma explícita na obra de Euclides e nos estudos de Diofanto. Também foi estudada por alguns matemáticos islâmicos e, nesse caso, estavam relacionados com o Problema dos Números Congruentes, um antigo problema que remonta à época do matemático italiano Leonardo Fibonacci.
Através dos séculos, diversas gerações de estudiosos, cientistas e matemáticos têm tentado achar uma solução geral para esse problema, encontrando, na maioria das vezes, soluções parciais. Uma solução geral implicaria encontrar um algoritmo que permitisse determinar quando um número natural é congruente ou não.
O Teorema de Pitágoras (e, portanto, os ternos pitagóricos) é a mais bela jóia da tradição pitagórica. Como lembrança inesquecível da época escolar, ele pertence à base cultural comum da humanidade. O seu estudo introduziu uma radical inflexão intelectual entre a prática empírica e indutiva e a argumentação lógico-dedutiva, tanto no aspecto histórico cultural matemático como no âmbito escolar.
Pitágoras
Pitágoras, filósofo e matemático, nasceu em 572 a.C. em Samos, uma ilha grega no mar Egeu na costa da Ásia Menor, na época pertencente à Grécia. Ele viajou por Egito e Babilônia e, segundo alguns historiadores, possivelmente foi até a Índia. Pitágoras mudou-se para Crotona, na atual Itália, e ali fundou uma escola filosófica que muito se assemelhava a um culto religioso. A escola fundada por ele era secreta e, ao mesmo tempo, comunitária, onde conhecimento e propriedades eram comuns, possuía bases religiosas, matemáticas e filosóficas.
O filósofo e matemático Pitágoras, além de fundador e líder, era visto como profeta. A escola também praticava rituais de purificação através do estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia. Acreditavam na transmigração da alma de um corpo para o outro após a morte, portanto acreditavam na reencarnação e na imortalidade da alma.
Fórmula de Euclides Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
é pitagórico, e é primitivo se, e só se, m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
3, 4 e 5 O primeiro terno pitagórico é formado pelos números 3, 4 e 5, já que 3²+4²=5². Mas os números 3, 4 e 5 desempenham um papel importante em todos os ternos pitagóricos. Pode provar-se, pela definição ou pela fórmula de Euclides, que num terno pitagórico primitivo: exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 3; exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 4; exactamente um dos números a, b ou c é múltiplo de 5.
Os ternos pitagóricos no período babilônico Um dos problemas babilônicos sobre raiz quadrada está ligado à relação entre o lado de um quadrado e sua diagonal. Essa relação é um caso especial do resultado conhecido como o teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. O nome desse teorema é em homenagem ao filósofo e matemático grego do século VI a. C., é indiscutivelmente o teorema elementar mais importante em Matemática, uma vez que as suas consequências e generalizações têm ampla aplicação. No entanto, é um dos primeiros teoremas conhecidos das civilizações antigas; de fato, há evidências de que ele era conhecido pelo menos 1000 anos antes de Pitágoras. (Katz, 1998, p. 30)
Katz sinaliza que há indícios da utilização de ternos pitagóricos em construções de templos megalíticos. Alguns estudiosos têm argumentado que as pedras dos templos na Inglaterra relacionadas com a astronomia e edificada no terceiro milênio a. C. foram construídas utilizando o conhecimento do teorema de Pitágoras e, em especial, ternos pitagóricos, ternos de inteiros (a, b, c) , tal que a² + b² = c². No entanto, a evidência disso é bastante tênue. (Katz, 1998, p. 30)
Além disso, conforme Katz há registros históricos comprobatórios em placas de argila do período de Hamurabi que comprovam o conhecimento, construção e utilização de ternos pitagóricos. Em especial, se tem a tabuleta Plimpton 322, que consta no acervo da Biblioteca de Livros Raros e Manuscritos da Universidade de Columbia, que foi estudada por Neugebauer e Sachs. O historiador Katz, em seu texto, reproduz em notação decimal o conteúdo dessa tabuleta e explica como o escriba babilônico conseguiu obter esses ternos pitagóricos.
Dedução das equações algébricas do trio pitagórico obtidas a partir da geometria
Geometria
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Nas figuras acima que representam os quadrados com lados iguais a hipotenusa e os catetos do triângulo retângulo sendo , respectivamente a hipotenusa e os lados (catetos) do triângulo retângulo, temos que ao colocarmos o quadrado de lado dentro do quadrado de lado ( hipotenusa) , chamaremos a diferença , ou e observamos que na figura ficará uma área do quadrado de lado não coberta pelo quadrado de lado e esta área não coberta é uma figura que tem a forma de uma letra L de cabeça para baixo.
Esta figura pode ser divida em três partes sendo a primeira parte um retângulo exatamente em cima do quadrado de lado , tendo como base o valor e como altura o valor , a segunda figura será um retângulo ao lado direito do quadrado de lado , tendo como base o valor e como altura o valor , a terceira figura será um quadrado de base e altura . Está claro que o quadrado de lado , somado com o quadrado de lado é igual ao quadrado de lado (teorema de Pitágoras) ,e que o quadrado de lado obrigatoriamente tem a mesma área que a soma das três figuras citadas.
Álgebra
Com base nas considerações geométricas apresentadas consegue se a dedução das equações algébricas que expressam os valores dos lados e da hipotenusa do triângulo retângulo.
O quadrado de lado tem a sua área expressa por , a primeira figura tem sua área expressa por , a segunda figura tem sua área expressa por e a terceira figura tem sua área expressa por . Então ou seja consequentemente .
Para termos raiz quadrada em todas as condições deveremos transformar a expressão num produto notável da forma , isto implica transformar o valor em duas parcelas pois temos como terceira parcela o valor . Logo teremos . Se no primeiro espaço colocarmos e no segundo espaço também teremos ,porém ao obtermos os lados ,nós conseguiremos apenas o primeiro terno pitagórico (primitivo) e seus multíplos (não primitivos).
Então está faltando algo para completar o valor de . A solução é introduzir o parâmetro ficando , então vemos que e então finalmente temos
ou então e temos que
ou então e temos que
ou seja ou então
Estas equações acima são as equações fundamentais para a determinação dos lados e hipotenusa do triangulo retângulo, porque se aplica, quando esses lados e a hipotenusa são representados por qualquer associação de números inteiros, racionais ou irracionais, na obtenção da igualdade em que a soma das parcelas é expressa pelo valor do resultado. As equações de Euclides formam um caso particular onde são aplicadas apenas para triplos pitagóricos onde são números inteiros positivos.
Determinação de ,temos que logo ou seja , que podemos escrever .
Como nos Ternos Pitagóricos temos que será sempre um número racional
1- tangentes dos ângulos agudos
Sabemos que logo ficando
O que nos mostra que a tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo dependem somente do parâmetro .
Vemos nesta equação que temos a divisão dos números consecutivos por . Como dois números consecutivos são sempre primos entre si, isto implica que não teremos números inteiros ou irracionais , apenas números racionais como expressão da tangente de ângulos pitagóricos.
Quando fixamos um valor para e variamos o valor de obtemos uma série existente de triângulos retângulos, todos diferentes entre si, pois o parâmetro define sempre a forma do triângulo, ou seja, fixa os seus ângulos agudos.
Quando fixamos um valor para e variamos o valor de obtemos toda a série de triângulos daquela forma definida pelo parâmetro m, porém todos com diferentes áreas entre si, pois o parâmetro t é um parâmetro de escala, ou seja define a variação do tamanho ou área.
2- Analise dos triângulos retângulos com lados iguais
Neste caso os lados são iguais, então , ficando ou e finalmente .
Para temos que a equação que representa
Para temos que a equação que representa
Para temos que a equação que representa
3- Caso em que onde é o lado menor do triângulo retângulo
Analise do caso , onde , , sendo , e
Estes resultados foram obtidos com .
Se na dedução inicial considerarmos a superposição da área do quadrado formado pelo lado menor sobre o quadrado de lado igual a hipotenusa a área não coberta do quadrado da hipotenusa, representaria o quadrado de lado maior, porém a equação seria a mesma ou seja: ,
porque a passagem da geometria para a álgebra seria a mesma, porém teríamos uma mudança nos valores de , onde
e teremos .
Então temos . Vemos ai que agora temos e , logo ou seja :
A equação que expressava o menor lado, agora expressa o maior lado.
Para , ou seja a equação que expressava o maior lado, agora expressa o menor lado e não temos alteração no valor da equação que expressa a hipotenusa.
esta operação vale para todos os Ternos Pitagóricos, e observamos que para todos os triângulos retângulos
Então para , o lado menor será expresso por e o lado maior será expresso por
Para , o lado menor será expresso por e o lado maior será expresso por
Finalmente temos que todos os Ternos Pitagóricos podem ser expressos por em duas séries, sendo uma quando temos , e e a outra quando temos , e , sendo que no intervalo de os ternos pitagóricos aparecem em ordem crescente com a diminuição de e no intervalo os ternos pitagóricos aparecem também em ordem crescente, com o aumento de .
Vemos então que variando entre conseguimos todos os ternos pitagóricos, o que também conseguimos porém variando entre .ou seja
Convencionando o par de variáveis para , e o par para .
Para qualquer triangulo retângulo o produto é um invariante
para para , .....
para para , ....
4 - Equação para números congruentes
Números congruentes são números inteiros que expressam áreas de triângulos retângulos onde os lados (catetos) e a hipotenusa são números inteiros ou racionais
logo
Para o terno , onde temos que :
para temos que
para temos que