right|thumb|300px|A função zeta de Riemann ζ(s) no plano complexo. A cor de um ponto s codifica o valor de ζ(s): cores próximas do preto denotam valores próximos de zero, enquanto o matiz codifica o argumento do valor.
Em matemática, a teoria analítica dos números é um ramo da teoria dos números que usa métodos da análise matemática para resolver problemas sobre os inteiros. Costuma-se dizer que ela começou com a introdução, em 1837, das funções L de Dirichlet por Peter Gustav Lejeune Dirichlet, para fornecer a primeira demonstração do teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas. Ela é bem conhecida por seus resultados sobre números primos (envolvendo o teorema dos números primos e a função zeta de Riemann) e sobre a teoria aditiva dos números (como a conjectura de Goldbach e o problema de Waring).
Ramos da teoria analítica dos números A teoria analítica dos números pode ser dividida em duas grandes partes, separadas mais pelo tipo de problemas que tentam resolver do que por diferenças fundamentais de técnica. Teoria multiplicativa dos números trata da distribuição dos números primos, como a estimativa do número de primos em um intervalo, e inclui o teorema dos números primos e o teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas. Teoria aditiva dos números ocupa-se da estrutura aditiva dos inteiros, como a conjectura de Goldbach, segundo a qual todo número par maior que 2 é a soma de dois primos. Um dos principais resultados da teoria aditiva dos números é a solução do problema de Waring.
História
Precursores Grande parte da teoria analítica dos números foi inspirada pelo teorema dos números primos. Seja π(x) a função que conta os primos, que fornece o número de primos menores ou iguais a x, para qualquer número real x. Por exemplo, π(10) = 4 porque existem quatro números primos (2, 3, 5 e 7) menores ou iguais a 10. O teorema dos números primos então afirma que x / ln(x) é uma boa aproximação de π(x), no sentido de que o limite do quociente das duas funções π(x) e x / ln(x) quando x tende ao infinito é 1:
conhecida como a lei assintótica da distribuição dos números primos.
Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 ou 1798 que π(a) é aproximada pela função a/(A ln(a) + B), onde A e B são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre teoria dos números (1808), ele formulou então uma conjectura mais precisa, com A = 1 e B ≈ −1,08366. Carl Friedrich Gauss considerou a mesma questão: “Im Jahr 1792 oder 1793” (“no ano de 1792 ou 1793”), segundo sua própria recordação quase sessenta anos depois, em uma carta a Encke (1849), ele escreveu em sua tábua de logaritmos (tendo então 15 ou 16 anos) a breve nota “Primzahlen unter ” (“números primos menores que ”). Mas Gauss jamais publicou essa conjectura. Em 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet chegou à sua própria função aproximadora, a integral logarítmica li(x) (sob a forma ligeiramente diferente de uma série, que ele comunicou a Gauss). Tanto as fórmulas de Legendre quanto a de Dirichlet implicam a mesma equivalência assintótica conjecturada entre π(x) e x / ln(x) enunciada acima, embora tenha se revelado que a aproximação de Dirichlet é consideravelmente melhor se se considerarem as diferenças em vez dos quocientes.
Dirichlet
A Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet é atribuída a criação da teoria analítica dos números, campo no qual encontrou vários resultados profundos e, ao demonstrá-los, introduziu algumas ferramentas fundamentais, muitas das quais mais tarde receberam seu nome. Em 1837, ele publicou o teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas, usando conceitos de análise matemática para atacar um problema algébrico e, assim, criando o ramo da teoria analítica dos números. Ao provar o teorema, introduziu os caracteres de Dirichlet e as funções L. Em 1841, generalizou seu teorema sobre progressões aritméticas dos inteiros para o anel dos inteiros gaussianos .
Chebyshev
Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnuty Lvovich Chebyshev tentou provar a lei assintótica da distribuição dos números primos. Seu trabalho é notável pelo uso da função zeta ζ(s) (para valores reais do argumento “s”, como nos trabalhos de Leonhard Euler, já em 1737), anterior à célebre memória de Riemann de 1859, e ele conseguiu provar uma forma um pouco mais fraca da lei assintótica, a saber, que, se o limite de π(x)/(x/ln(x)) quando x tende ao infinito existir, então ele é necessariamente igual a um. Ele conseguiu provar incondicionalmente que essa razão é limitada superior e inferiormente por duas constantes explicitamente dadas, próximas de 1, para todo x. Embora o artigo de Chebyshev não tenha provado o teorema dos números primos, suas estimativas para π(x) foram suficientemente fortes para que ele provasse o postulado de Bertrand, segundo o qual existe um número primo entre n e 2n para qualquer inteiro n ≥ 2.
Riemann
Bernhard Riemann fez algumas contribuições célebres para a teoria analítica dos números moderna. Em um único artigo curto (o único que publicou sobre teoria dos números), ele investigou a função zeta de Riemann e estabeleceu sua importância para compreender a distribuição dos números primos. Formulou uma série de conjecturas sobre propriedades da função zeta, uma das quais é a conhecida hipótese de Riemann.
Hadamard e de la Vallée-Poussin
Estendendo as ideias de Riemann, duas demonstrações do teorema dos números primos foram obtidas independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin, e apareceram no mesmo ano (1896). Ambas as demonstrações usaram métodos de análise complexa, estabelecendo como etapa principal da prova que a função zeta de Riemann ζ(s) é não nula para todos os valores complexos da variável s da forma s = 1 + it com t > 0.
Tempos modernos A maior mudança técnica depois de 1950 foi o desenvolvimento dos métodos de crivo, especialmente em problemas multiplicativos. Eles são de natureza combinatória, e bastante variados. O ramo extremal da teoria combinatória, por sua vez, foi muito influenciado pelo valor dado na teoria analítica dos números a limites superiores e inferiores quantitativos. Outro desenvolvimento recente é a teoria probabilística dos números, que usa métodos da teoria das probabilidades para estimar a distribuição de funções aritméticas, como quantos divisores primos um número possui.
Especificamente, os avanços de Yitang Zhang, James Maynard, Terence Tao e Ben Green usaram todos o método de Goldston–Pintz–Yıldırım, que eles originalmente usaram para provar que
Os desenvolvimentos dentro da teoria analítica dos números são frequentemente refinamentos de técnicas anteriores, que reduzem os termos de erro e ampliam sua aplicabilidade. Por exemplo, o método do círculo de Hardy e Littlewood foi concebido como aplicável a séries de potências próximas da circunferência unitária no plano complexo; hoje ele é pensado em termos de somas exponenciais finitas (isto é, sobre a circunferência unitária, mas com a série de potências truncada). As necessidades da aproximação diofantina são por funções auxiliares que não são funções geradoras — seus coeficientes são construídos por meio de um princípio das gavetas — e envolvem várias variáveis complexas. Os campos da aproximação diofantina e da teoria da transcendência expandiram-se a ponto de as técnicas terem sido aplicadas à conjectura de Mordell.
Problemas e resultados
Teoremas e resultados da teoria analítica dos números tendem a não ser resultados estruturais exatos sobre os inteiros, para os quais ferramentas algébricas e geométricas são mais apropriadas. Em vez disso, fornecem limites aproximados e estimativas para várias funções aritméticas, como ilustram os exemplos a seguir.
Teoria multiplicativa dos números
Euclides mostrou que existem infinitos números primos. Uma questão importante é determinar a distribuição assintótica dos números primos; isto é, uma descrição aproximada de quantos primos são menores que um dado número. Gauss, entre outros, após calcular uma grande lista de primos, conjecturou que o número de primos menores ou iguais a um grande número N é próximo do valor da integral
Em 1859, Bernhard Riemann usou análise complexa e uma função meromorfa especial, hoje conhecida como função zeta de Riemann, para derivar uma expressão analítica para o número de primos menores ou iguais a um número real x. Notavelmente, o termo principal na fórmula de Riemann era exatamente a integral acima, dando peso substancial à conjectura de Gauss. Riemann descobriu que os termos de erro nessa expressão, e portanto a maneira como os primos são distribuídos, estão intimamente relacionados aos zeros complexos da função zeta. Usando as ideias de Riemann e obtendo mais informações sobre os zeros da função zeta, Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin conseguiram completar a demonstração da conjectura de Gauss. Em particular, provaram que, se
então
Esse resultado notável é o que hoje se conhece como o teorema dos números primos. É um resultado central da teoria analítica dos números. Em termos informais, ele afirma que, dado um grande número N, o número de primos menores ou iguais a N é aproximadamente N/log(N).
De forma mais geral, a mesma questão pode ser feita sobre o número de primos em qualquer progressão aritmética a + nq, para qualquer inteiro n. Em uma das primeiras aplicações de técnicas analíticas à teoria dos números, Dirichlet provou que qualquer progressão aritmética com a e q coprimos contém infinitos primos. O teorema dos números primos pode ser generalizado para esse problema; definindo
então, se a e q são coprimos,
onde é a função totiente.
Há também muitas conjecturas profundas e amplas na teoria dos números cujas demonstrações parecem difíceis demais para as técnicas atuais, como a conjectura dos primos gêmeos, que pergunta se existem infinitos primos p tais que p + 2 também é primo. Sob a hipótese da conjectura de Elliott–Halberstam, foi recentemente provado que existem infinitos primos p tais que p + k é primo para algum inteiro par positivo k no máximo 12. Também foi provado incondicionalmente (isto é, sem depender de conjecturas não demonstradas) que existem infinitos primos p tais que p + k é primo para algum inteiro par positivo k no máximo 246.
Teoria aditiva dos números
Um dos problemas mais importantes da teoria aditiva dos números é o problema de Waring, que pergunta se é possível, para qualquer k ≥ 2, escrever qualquer inteiro positivo como soma de um número limitado de potências k-ésimas,
O caso dos quadrados, k = 2, foi respondido por Lagrange em 1770, que provou que todo inteiro positivo é soma de no máximo quatro quadrados. O caso geral foi provado por Hilbert em 1909, usando técnicas algébricas que não forneciam limites explícitos. Um avanço importante foi a aplicação de ferramentas analíticas ao problema por Hardy e Littlewood. Essas técnicas são conhecidas como método do círculo e fornecem limites superiores explícitos para a função G(k), o menor número de potências k-ésimas necessárias, como a cota de Vinogradov
Problemas diofantinos
Problemas diofantinos dizem respeito a soluções inteiras de equações polinomiais: pode-se estudar a distribuição das soluções, isto é, contar soluções segundo alguma medida de “tamanho” ou altura.
Um exemplo importante é o problema do círculo de Gauss, que pergunta pelos pontos inteiros (x, y) que satisfazem
Em termos geométricos, dado um círculo centrado na origem do plano com raio r, o problema pergunta quantos pontos da rede inteira estão sobre ou dentro do círculo. Não é difícil provar que a resposta é , onde quando . Mais uma vez, a parte difícil — e uma grande realização da teoria analítica dos números — é obter limites superiores específicos para o termo de erro E(r).