Em álgebra linear, uma matriz definida positiva é uma matriz que, em muitos aspectos, é análoga a um número real positivo. A noção é parecida com a de uma forma bilinear simétrica positiva-definida (ou uma forma sesquilinear no caso complexo).

A definição adequada de definida positiva não tem ambiguidades no caso de matrizes Hermitianas, mas não há consenso na literatura a respeito de como ela deve ser estendida para matrizes não Hermitianas, se é que isso deve ser feito. (Consulte a seção sobre Matrizes não Hermitianas abaixo)

Definição

Uma matriz real de ordem é definida positiva se para todos os vetores não-nulos com entradas reais (isto é, , em que denota o transposto de .

Uma matriz complexa de ordem é definida positiva se para todos os vetores complexos não-nulos , em que denota o transposto conjugado de e é a parte real de um número complexo .

Uma matriz complexa Hermitiana de ordem é definida positiva se para todos os vetores complexos não-nulos . A quantidade é sempre um número real porque é uma matriz hermitiana.

Caracterizações Seja uma matriz hermitiana . As seguintes propriedades são equivalentes a ser positiva definida:

1. Todos os autovalores de são positivos. Lembre-se que que qualquer Hermitiana possui uma decomposição espectral em que é uma matriz unitária cujas linhas são autovetores ortonormais de , formando uma base, e é uma matriz diagonal. Portanto pode ser considerada como uma matriz diagonal real que foi expressa em um outro sistema de coordenadas. Esta caracterização significa que é positiva definida se e somente se os elementos da diagonal de (os autovalores) são todos positivos. Em outras palavras, na base que consiste de autovetores de , a ação de é a multiplicação componente a componente com um elemento (fixo) de com entradas positivas. 2. A forma sesquilinear define um produto interno em Cn. (De fato, todo produto interno em Cn é obtido desta forma a partir de uma matriz Hermitiana definida positiva.) Em particular, a propriedade de uma matriz Hermitiana ser positiva definida é equivalente ao fato de que para todo x diferente de zero. 3. M é a matriz de Gram de alguma coleção de vetores linearmente independentes para algum k. Em outras palavras, M tem a seguinte propriedade:

Opcionalmente, pode-se impor que os vetores xi pertençam a Cn. Em outras palavras, M é da forma A*A onde A não é necessariamente quadrada, mas deve ser injetora em geral. 4. Todas as matrizes a seguir possuem determinante positivo (o critério de Sylvester): o canto superior esquerdo 1-por-1 de o canto superior esquerdo 2-por-2 de o canto superior esquerdo 3-por-3 de ... a própria Em outras palavras, todos os menores principais líderes são positivos. Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais devem ser não-negativos. Considerar apenas os menores principais líderes não garante que a matriz seja semidefinida positiva, como pode se ver no exemplo 5. Existe uma única matriz triangular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos, que permite a fatoração de como

em que é a conjugada transposta de Esta fatoração é conhecida como a fatoração de Cholesky. 6. A função quadrática associada a

é, indiferente ao valor de b, uma função estritamente convexa. Nesse caso, possui um mínimo global, e isso explica porque as matrizes definidas positivas são tão comuns em problemas de otimização.

Para matrizes simétricas reais, estas propriedades podem ser simplificadas trocando-se por e "transposição conjugada" por "transposição".

Formas quadráticas Expandindo a condição 2 acima, pode-se formular a definição do que é ser "definida positiva" em termos de formas quadráticas. Seja K o corpo R ou C, e V um espaço vetorial sobre K. Uma forma Hermitiana

é uma aplicação bilinear tal que é sempre o conjugado complexo de . Uma função deste tipo é chamada definida positiva se para todo não-zero em .

Matrizes definidas negativas, semidefinidas e indefinidas Negativa definida O n × n diz-se que a matriz Hermitiana é negativa definida se para todo não-zero (ou, analogamente, todo não-zero).

A matriz m será negativa definida se e somente se: A matriz simétrica resultante da soma de M com sua transposta, também for negativa definida MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 935.. A matriz inversa for negativa definida. Se a matriz M for simétrica, então ela será negativa definida se e somente se todos os seus valores característicos forem negativos.

A matriz é definida negativa se todos os auto-valores são negativos, é semi-definida positiva se todos são maiores ou iguais a zero, e semi-definida negativa se todos são menores ou iguais a zero.

Matriz semi-definida negativa A matriz quadrada M é chamada semidefinida-negativa se para todo (ou ).

Matriz positiva semi-definida A matriz quadrada M é chamada positiva-semidefinida se para todo (ou ).

A matriz M é positiva semi-definida se e somente se ela se sobressai como Gram matriz de alguns vetores fixos. Ao contrário do caso definido positivo, estes vetores não precisam ser linearmente independentes.

Comparação Seja A uma matriz simétrica n X n e x um vetor (ou escalar, que é um vetor 1X1) em EntãoSIMON, Carl e BLUME, Lawrence. matemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. INTRILIGATOR, Michael. Mathematical Optimization and Economic Theory. Prentice Hall Inc., 1971. Apêndice "B.8 - Quadratic Forms", página 495.:

A matriz A é... Se e somente se... Ou, equivalentemente, se o valor dos autovalores de Determinante das submatrizes principais Se esta condição valer, então a matriz inversa Semidefinida Não negativa (matriz positiva semi-definida) Forem não-negativosBHAYA, Amit. Matrizes positivas definidas, semidefinidas, etc.. Aula 8. Disponível em: <http://www.nacad.ufrj.br/~amit/alglin/aula8.pdf>. Acesso em: 13 de julho de 2011. São todos não negativos e Não-positiva (matriz semi-definida negativa) são não positivas Alternam os sinais, sendo não positivos nas impares e não negativos nas pares e Definida (e portanto também semidefinida) Positiva Forem todos positivos São todos positivos existe e é positiva definida WOOLDRIDGE. Introdução à econometria. Ed. Thomson. Apêndice D- Resumo de álgebra matricial. Página 103 Negativa Forem todos negativos Alternam os sinais, sendo negativos nas impares e positivos nas pares e Indefinida para alguns x e para outros x Exemplo e e

Note que a quantidade é sempre real. Esta expressão é conhecida como forma quadrática de M . Exemplos de matrizes positivas definidas A matriz identidade é definida positiva, pois que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado). A matriz real e simétrica é positiva definida, pois

Reorganizando os elementos da soma acima, temos:

, que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.

Exemplos de matrizes negativas definidas A matriz identidade negativa é definida negativa, pois que é sempre um número negativo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado multiplicada por (-1)).

Ver também Raiz quadrada de uma matriz Complemento de Schur Kernel definido positivo Função definida positiva

Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback). Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

Categoria:Matrizes