Em matemática, particularmente em álgebra linear, uma matriz antissimétrica (ou padrão antissimétrico) é uma matriz quadrada cuja transposta é igual ao seu negativo. Ou seja, ela satisfaz a condição

Em termos dos elementos da matriz, se denota o elemento na -ésima linha e -ésima coluna, então a condição de antissimetria é equivalente a

Em corpos com característica diferente de 2, os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica são nulos, porque cada elemento deve ser o oposto de si mesmo.

Exemplo A matriz

é antissimétrica porque

Propriedades Em todo o texto, assumimos que todos os elementos da matriz pertencem a um corpo cuja característica é diferente de 2. Ou seja, assumimos que , onde 1 denota a identidade multiplicativa e 0 a identidade aditiva do corpo dado. Se a característica do corpo for 2, então uma matriz antissimétrica é o mesmo que uma matriz simétrica.

A soma de duas matrizes antissimétricas é antissimétrica. A multiplicação de uma matriz antissimétrica por um escalar resulta em uma matriz antissimétrica. Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica são iguais a zero e, portanto, seu traço é igual a zero. Os autovalores de uma matriz antissimétrica real são imaginários puros. Se for uma matriz antissimétrica real, então é invertível, onde é a matriz identidade. Se for uma matriz antissimétrica, então é uma matriz simétrica semidefinida negativa.

Estrutura de espaço vetorial Como resultado das duas primeiras propriedades acima, o conjunto de todas as matrizes antissimétricas de um determinado tamanho forma um espaço vetorial. O espaço das matrizes antissimétricas possui dimensão

Seja o espaço das matrizes . Uma matriz antissimétrica é determinada por escalares (o número de elementos acima da diagonal principal); uma matriz simétrica é determinada por escalares (o número de elementos na diagonal principal ou acima dela). Seja o espaço das matrizes antissimétricas e o espaço das matrizes simétricas . Se , então

Observe que e Isso é verdadeiro para toda matriz quadrada com elementos pertencentes a qualquer corpo cuja característica seja diferente de 2. Então, como e onde denota a soma direta.

Denote por o produto interno padrão em A matriz real é antissimétrica se e somente se

Isso também é equivalente a para todo (uma implicação sendo óbvia, a outra uma consequência direta de para todo e ).

Como essa definição é independente da escolha de base, a antissimetria é uma propriedade que depende apenas do operador linear e de uma escolha de produto interno.

Matrizes antissimétricas podem ser usadas para representar produtos vetoriais como multiplicações de matrizes.

Além disso, se for uma matriz antissimétrica (ou anti-hermitiana), então para todo .

Determinante

Seja uma matriz antissimétrica . O determinante de satisfaz

Em particular, se for ímpar, e dado que o corpo subjacente não é de característica 2, o determinante se anula. Portanto, todas as matrizes antissimétricas de dimensão ímpar são singulares, pois seus determinantes são sempre zero. Esse resultado é chamado de teorema de Jacobi, em homenagem a Carl Gustav Jakob Jacobi (Eves, 1980).

O caso de dimensão par é mais interessante. Verifica-se que o determinante de para par pode ser escrito como o quadrado de um polinômio nos elementos de , o que foi demonstrado pela primeira vez por Cayley: Reimpresso em

Esse polinômio é chamado de pfaffiano de e é denotado por . Assim, o determinante de uma matriz antissimétrica real é sempre não negativo. No entanto, esse último fato pode ser provado de forma elementar como segue: os autovalores de uma matriz antissimétrica real são puramente imaginários (veja abaixo) e para cada autovalor corresponde o autovalor conjugado com a mesma multiplicidade; portanto, como o determinante é o produto dos autovalores, cada um repetido de acordo com sua multiplicidade, segue-se imediatamente que o determinante, se não for 0, é um número real positivo.

O número de termos distintos na expansão do determinante de uma matriz antissimétrica de ordem já foi considerado por Cayley, Sylvester e Pfaff. Devido a cancelamentos, esse número é bastante pequeno em comparação com o número de termos do determinante de uma matriz genérica de ordem , que é . A sequência é 1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

e é codificada na função geradora exponencial

Esta última fornece a assíntota (para par)

O número de termos positivos e o número de termos negativos são ambos aproximadamente iguais à metade do total, embora sua diferença tome valores positivos e negativos cada vez maiores à medida que aumenta .

Produto vetorial Matrizes antissimétricas de ordem três por três podem ser usadas para representar produtos vetoriais como multiplicações de matrizes. Considere dois vetores e O produto vetorial é uma aplicação bilinear, o que significa que, ao fixar um dos dois argumentos, por exemplo , ele induz uma aplicação linear com uma matriz de transformação associada , de modo que

onde é

Isso pode ser verificado imediatamente calculando ambos os lados da equação anterior e comparando cada elemento correspondente dos resultados.

Tem-se na verdade

ou seja, o comutador de matrizes antissimétricas três por três pode ser identificado com o produto vetorial de dois vetores. Como as matrizes antissimétricas três por três são a álgebra de Lie do grupo de rotações , isso elucida a relação entre o espaço tridimensional , o produto vetorial e as rotações tridimensionais. Mais detalhes sobre rotações infinitesimais podem ser encontrados abaixo.

Teoria espectral

Como uma matriz é semelhante à sua própria transposta, elas devem ter os mesmos autovalores. Segue-se que os autovalores de uma matriz antissimétrica sempre vêm em pares ±λ (exceto no caso de dimensão ímpar, onde há um autovalor 0 adicional e não pareado). Pelo teorema espectral, para uma matriz antissimétrica real, os autovalores não nulos são todos puramente imaginários e, portanto, são da forma onde cada um dos é real.

Matrizes antissimétricas reais são matrizes normais (elas comutam com suas adjuntas) e estão, portanto, sujeitas ao teorema espectral, que estabelece que qualquer matriz antissimétrica real pode ser diagonalizada por uma matriz unitária. Como os autovalores de uma matriz antissimétrica real são imaginários, não é possível diagonalizá-la por uma matriz real. No entanto, é possível transformar cada matriz antissimétrica em uma forma diagonal em blocos por meio de uma transformação ortogonal especial. Especificamente, toda matriz antissimétrica real pode ser escrita na forma onde é ortogonal e

para reais. Quando o pfaffiano de , , é positivo, então todos os podem ser feitos positivos. Quando é negativo, pelo menos um dos é negativo. Os autovalores não nulos desta matriz são ±λk i. No caso de dimensão ímpar, Σ sempre possui pelo menos uma linha e uma coluna de zeros.

Mais geralmente, toda matriz antissimétrica complexa pode ser escrita na forma onde é unitária e possui a forma diagonal em blocos dada acima, com ainda sendo reais e definidos positivos. Este é um exemplo da decomposição de Youla de uma matriz quadrada complexa.

Formas antissimétricas e alternadas

Uma forma antissimétrica em um espaço vetorial sobre um corpo de característica arbitrária é definida como uma forma bilinear

tal que para todos os em

Isso define uma forma com propriedades desejáveis para espaços vetoriais sobre corpos de característica diferente de 2, mas em um espaço vetorial sobre um corpo de característica 2, a definição é equivalente à de uma forma simétrica, pois cada elemento é seu próprio inverso aditivo.

Quando o espaço vetorial é sobre um corpo de característica arbitrária, incluindo característica 2, podemos definir uma forma alternada como uma forma bilinear tal que para todos os vetores em

Isso é equivalente a uma forma antissimétrica quando o corpo não é de característica 2, como pode ser visto em

de onde segue que

Uma forma bilinear será representada por uma matriz tal que , uma vez escolhida uma base de e, inversamente, uma matriz em dá origem a uma forma que envia para Para cada uma das formas simétricas, antissimétricas e alternadas, as matrizes de representação são simétricas, antissimétricas e alternadas, respectivamente.

Rotações infinitesimais Matrizes antissimétricas reais formam o espaço tangente ao grupo ortogonal na matriz identidade; formalmente, a álgebra de Lie . Em particular, o gerador de uma rotação infinitesimal no espaço euclidiano -dimensional é uma matriz antissimétrica.

Sem coordenadas De forma mais intrínseca (ou seja, sem usar coordenadas), as transformações lineares antissimétricas em um espaço vetorial com um produto interno podem ser definidas como os bivetores no espaço, que são somas de bivetores simples (-lâminas) A correspondência é dada pela aplicação ; em coordenadas ortonormais, essas são exatamente as matrizes antissimétricas elementares. Essa caracterização é usada na interpretação do rotacional de um campo vetorial (naturalmente um -vetor) como uma rotação infinitesimal ou "giro", daí o nome.

Matriz simetrizável por antissimetria Diz-se que uma matriz é simetrizável por antissimetria se existir uma matriz diagonal invertível tal que seja antissimétrica. Para matrizes reais , às vezes adiciona-se a condição de que tenha elementos positivos.

Ver também Transformada de Cayley Matriz simétrica Matriz anti-hermitiana Matriz simpLética Simetria em matemática

Referências

Bibliografia

Lipschutz, S ; Lipson, M (2011). Álgebra Linear - Col. Schaum 4 ed. Porto Alegre : Bookman.

Ligações externas

Fortran Fortran90

Categoria:Matrizes