thumb|right|Função chão thumb|right|Função teto
Em matemática, a função piso, denotada por , converte um número real no maior número inteiro menor ou igual a , enquanto a função teto, denotada por , converte um número real no menor número inteiro maior ou igual a .Graham et al., p. 67 As definições formais para essas função são
,
.
O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autoresMathWorld, Integer Part. Para Graham et al.Graham et al., p. 70, a parte inteira de é o mesmo que . Para Spanier e Oldham, a parte inteira de é igual a para positivo e igual a para negativo. A segunda definição será representada neste artigo como .
O mesmo acontece para parte fracionária ou valor fracionário. Para Graham et al., a parte fracionária de é igual a . Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de é igual a . A segunda definição será representada neste artigo como .
Tanto os nomes floor e ceiling (piso e teto em inglês) como as notações e foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962.
A parte inteira de um número fracionário () é dada por:
Propriedades da função piso Tem-se
com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro. a função piso é idempotente: . Para qualquer inteiro k e real x,
O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como . A função piso não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros. Se x for um real e n um inteiro, então n ≤ x se e só se n ≤ piso(x). A função piso é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais. Para os reais não inteiros, a função piso tem uma representação de série de Fourier
Se m e n são inteiros positivos coprimos, então
O Teorema de Beatty mostra que qualquer número irracional positivo permite particionar os números naturais em duas sequências pela função piso. Para todo o inteiro k, o seu número de algarismos é dado por:
É fácil ver que:
e:
É possível verificar que:
Bibliografia
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley. ISBN 0-20155-802-5 Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-47143-014-5 Spanier, J.; Oldham, K. B. (1987) "The Integer-Value Int(x) and Fractional-Value frac(x) Functions." In An Atlas of Functions, Hemisphere, Cap. 9, p. 71–78. ISBN 0-89116-573-8 Weisstein, Eric W. Integer Part MathWorld--A Wolfram Web Resource (em inglês). Página visitada em 6 de Fevereiro de 2011.
Categoria:Funções matemáticas