Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes. Definição de norma Seja o espaço vetorial das matrizes reais ou complexas. Uma norma é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

Norma operacional euclidiana Quando uma matriz é vista como um operador entre os espaços euclidianos e , a norma natural é dada pela norma operacional:

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais: , sempre que o produto está bem definido onde é a matriz identidade.

Norma infinito ou norma do máximo Seja uma matriz . A norma infinito ou norma do máximo da matriz , denotada por , é o número não negativo

(a maior soma absoluta das linhas)pág.22

Norma 1 Seja uma matriz . A norma 1 da matriz , denotada por , é o número não negativo

A norma da matriz , por exemplo, é pag.22

Normas baseadas nas entradas Estas normas vetoriais tratam uma matriz como um vetor de tamanho e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Norma Induzida

Se a norma vetorial de é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

No caso de e , as normas podem ser calculadas como:

que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.

que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.

Demonstração para o caso p=1 Por um lado, considere

Por outro lado, seja o vetor , com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde ocorre. Tem-se

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

Cqd

Equivalência entre as normas Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se e são normas em então existem constantes e tais que:

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