miniatura|direita|236px|Componentes contravariantes do tensor tensão-energia.
O tensor tensão-energia, por vezes denominado tensor de energia-momento ou tensor tensão-energia-momento, é um campo tensorial que descreve a densidade e o fluxo de energia e de momento em cada ponto do espaço-tempo, generalizando o tensor de tensões de Cauchy da física newtoniana. É uma propriedade da matéria, da radiação e de campos de força não gravitacionais. Essa densidade e fluxo de energia e momento constituem as fontes do campo gravitacional nas equações de campo de Einstein da relatividade geral, da mesma forma que a densidade de massa atua como fonte do campo na gravitação newtoniana.
O tensor de tensão-energia eletromagnético foi formulado por Hermann Minkowski em 1907 e posteriormente generalizado por Max von Laue em 1911.
Definição O tensor tensão-energia envolve o emprego de índices sobrescritos (que representam índices tensoriais e não expoentes; ver notação de índices tensoriais e convenção de soma de Einstein). As quatro coordenadas de um evento no espaço-tempo são representadas por . Convenciona-se defini-las como , onde designa a coordenada temporal, e as coordenadas espaciais.
O tensor tensão-energia é formalmente definido como o tensor de segunda ordem que expressa o fluxo da componente do vetor quadrimomento através de uma superfície de coordenada constante . Na teoria da relatividade, esse vetor de momento corresponde ao quadrimomento. Na relatividade geral clássica, o tensor tensão-energia é simétrico:
Em formulações teóricas alternativas, como a teoria de Einstein-Cartan, o tensor tensão-energia pode não exibir simetria exata devido à presença de um tensor de spin não nulo, o que geometricamente decorre de um tensor de torção não nulo no espaço-tempo.
Componentes Por ser um tensor de ordem 2, suas componentes podem ser organizadas na forma de uma matriz :onde os índices e assumem os valores 0, 1, 2 e 3. Cada componente possui uma interpretação física direta:
Nas relações abaixo, os índices latinos e variam de 1 a 3:
A componente temporal-temporal expressa a densidade de massa relativística, isto é, a densidade de energia dividida pelo quadrado da velocidade da luz: onde é a densidade de massa relativística. As componentes expressam a taxa de densidade superficial de fluxo de massa relativística através da superfície coordenada , equivalendo à -ésima componente da densidade de momento linear. As componentes espaciais representam a taxa de densidade de fluxo superficial da -ésima componente do momento linear através da superfície (análoga ao tensor de tensões de Cauchy). Em particular,(sem soma sobre índices repetidos) expressa a tensão normal na direção da coordenada (), interpretada como a pressão hidrostática na respectiva direção. As componentes fora da diagonal principal ()representam as tensões de cisalhamento.
Na física do estado sólido e na mecânica dos fluidos, o tensor de tensões convencional é definido como o conjunto das componentes puramente espaciais do tensor tensão-energia avaliadas no referencial próprio da substância. Na engenharia mecânica, portanto, o tensor de tensões difere do tensor tensão-energia relativístico por um termo convectivo associado ao transporte de momento.
Formas covariante e mista Grande parte dos desenvolvimentos teóricos emprega a forma contravariante . Todavia, é frequentemente vantajoso recorrer à forma covariante:ou à forma mista:
Convenciona-se adotar a assinatura métrica do tipo espacial para o tensor métrico .
Leis de conservação
Na relatividade restrita O tensor tensão-energia constitui a corrente de Noether conservada associada à invariância do sistema por translações no espaço-tempo (teorema de Noether).
No espaço-tempo plano, a divergência da porção não gravitacional de tensão-energia é nula. Em outros termos, a energia e o momento não gravitacionais são conservados localmente:
A formulação integral correspondente escreve-se como:onde designa uma região quadridimensional compacta do espaço-tempo; é sua fronteira, uma hipersuperfície tridimensional; e representa o elemento de área orientado na direção normal externa.
No espaço-tempo de Minkowski em coordenadas cartesianas, combinando essa propriedade de divergência com a simetria de , demonstra-se que o momento angular relativístico também se conserva:
Na relatividade geral Quando a gravitação é levada em consideração ou ao se utilizar sistemas de coordenadas curvilíneos arbitrários, a divergência covariante do tensor tensão-energia permanece nula:onde são os símbolos de Christoffel, que representam matematicamente a intensidade do campo gravitacional.
Consequentemente, se for um campo vetorial de Killing associado a uma simetria contínua da métrica, a lei de conservação correspondente pode ser formulada como:
Em forma integral:
Na relatividade restrita Na relatividade restrita, o tensor tensão-energia sintetiza as densidades de energia e momento de um dado sistema físico, bem como suas respectivas densidades de fluxo de transporte.
Considerando uma densidade lagrangiana que depende de um conjunto de campos e de suas derivadas de primeira ordem , mas não depende explicitamente das coordenadas do espaço-tempo (), constrói-se o tensor tensão-energia canônico analisando a derivada total em relação a uma das coordenadas:
Empregando a notação condensada:
Aplicando as equações de Euler-Lagrange:
E utilizando a comutatividade das derivadas parciais ():
O lado direito identifica-se diretamente com a regra da derivada do produto:
No espaço-tempo plano, pode-se reescrever . Igualando os termos:
reagrupando-os sob uma única divergência:
Essa relação demonstra que a divergência do tensor contido entre colchetes é identicamente nula. Define-se assim o tensor tensão-energia canônico:
o qual satisfaz, por construção:
Essa propriedade de divergência nula equivale a quatro equações de continuidade. Identifica-se como a densidade de energia do sistema, a partir da qual se obtém a densidade hamiltoniana . Como , tem-se:concluindo-se que o termo corresponde ao vetor densidade de fluxo de energia do sistema.
Traço O traço do tensor tensão-energia é dado pela contração de índices :
Dado que no espaço-tempo quadridimensional :
Na relatividade geral Na relatividade geral, o tensor tensão-energia simétrico atua como a fonte primária da curvatura do espaço-tempo, correspondendo à densidade de corrente associada às transformações gerais de coordenadas curvilíneas. (Caso o espaço-tempo admita torção, o tensor deixa de ser simétrico, o que se verifica na presença de um tensor de spin na teoria de Einstein-Cartan.)
Na relatividade geral, as derivadas parciais são substituídas por derivadas covariantes. Em consequência, a equação de conservação local não implica conservação estrita global da energia e momento não gravitacionais, refletindo a capacidade do campo gravitacional de realizar trabalho mecânico sobre a matéria e vice-versa. No limite clássico da gravitação newtoniana, esse fenômeno traduz a troca contínua entre energia cinética e energia potencial gravitacional (que não integra as componentes do tensor local), além da transferência de momento linear através do campo gravitacional.
Na relatividade geral, o pseudotensor de Landau-Lifshitz oferece uma formulação para definir densidades de momento e energia associadas estritamente ao campo gravitacional. Qualquer pseudotensor dessa natureza pode ser anulado localmente em determinado ponto pela escolha conveniente de um sistema de coordenadas em queda livre. Em um espaço-tempo curvo arbitrário, não existe uma definição geométrica unívoca para um vetor global de energia-momento conservado.
Equações de campo de Einstein
Na relatividade geral, o tensor tensão-energia figura no membro direito das equações de campo de Einstein:onde designa o tensor de Einstein, é o tensor de Ricci, é a curvatura escalar, é o tensor métrico, representa a constante cosmológica (desprezível na escala de galáxias ou subsistemas estelares), e corresponde à constante gravitacional de Einstein.
Tensão-energia em configurações específicas
Partícula pontual isolada Na relatividade restrita, o tensor tensão-energia de uma partícula pontual sem interações, com massa de repouso e trajetória , é formulado como:onde expressa o vetor de velocidade coordenada: é a função delta de Dirac tridimensional e representa a energia total da partícula.
Em linguagem física vetorial clássica, as componentes correspondem a:
onde expressa o produto diádico entre o momento linear e a velocidade.
Fluido perfeito em equilíbrio Para um fluido perfeito, o tensor tensão-energia assume a forma estrutural:onde representa a densidade de massa própria no referencial de repouso, é a pressão isotrópica, é a quadrivelocidade do fluido e é a métrica inversa. O traço do tensor resulta em:
A quadrivelocidade satisfaz a condição de normalização:
No referencial próprio do elemento de fluido, a quadrivelocidade reduz-se a , a métrica inversa escreve-se como:e o tensor tensão-energia assume representação puramente diagonal:
Campo eletromagnético
O tensor tensão-energia de Hilbert para um campo eletromagnético livre de fontes no vácuo é expresso por:onde designa o tensor do campo eletromagnético (tensor de Faraday) e é a permeabilidade magnética do vácuo.
Campo escalar
Para um campo escalar complexo que obedece à equação de Klein-Gordon, o tensor tensão-energia toma a forma:
No espaço-tempo plano de Minkowski com coordenadas cartesianas, suas componentes individuais resultam em:
Definições alternativas de tensão-energia Existem definições teoricamente distintas para o tensor de energia-momento não gravitacional:
Tensor de Hilbert O tensor de Hilbert é obtido como a derivada funcional da ação da matéria em relação ao tensor métrico:onde é a componente não gravitacional da ação, é a densidade lagrangiana da matéria e foram empregadas as equações de Euler-Lagrange. Essa grandeza é intrinsecamente simétrica e invariante de calibre.
Tensor canônico de Noether O teorema de Noether estabelece a existência de uma corrente conservada associada à simetria sob translações espaciais e temporais. Esse tensor canônico geralmente não é simétrico e pode violar a invariância de calibre em teorias de gauge acopladas. Na relatividade geral, as translações relacionam-se ao sistema de coordenadas específico adotado, não se transformando de forma covariante pura sob mudanças gerais de coordenadas.
Tensor de Belinfante-Rosenfeld
Na presença de partículas elementares com spin ou momento angular intrínseco, o tensor canônico de Noether perde sua simetria. O tensor de Belinfante-Rosenfeld é construído a partir da soma do tensor canônico com termos derivados da corrente de spin, de modo a torná-lo simétrico e conservado. No âmbito da relatividade geral, o tensor de Belinfante-Rosenfeld coincide com o tensor métrico de Hilbert.
Energia gravitacional
Em virtude do princípio da equivalência, a aceleração e as forças gravitacionais podem ser sempre anuladas localmente em qualquer ponto do espaço-tempo mediante a escolha de um referencial em queda livre. Consequentemente, a energia associada ao campo gravitacional não pode ser representada por um tensor não nulo genuíno; em seu lugar, utilizam-se pseudotensores.
Na relatividade geral, existem variadas propostas matemáticas de pseudotensores de energia-momento gravitacional, incluindo o pseudotensor de Einstein e o pseudotensor de Landau-Lifshitz. O pseudotensor de Landau-Lifshitz pode ser reduzido a zero em qualquer evento específico do espaço-tempo por meio de uma transformação adequada de coordenadas.
Ver também
Tensor de tensão-energia eletromagnético Condição de energia Tensor de Maxwell
Vetor de Poynting Cálculo de Ricci Classificação de Segre
Referências
Leitura adicional
Ligações externas