175px|miniaturadaimagem|Erwin Schrödinger
Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicada em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.
Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, () utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").
O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula. A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.
A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.
Soluções Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. A função de onda - um objeto matemático que especifica completamente o comportamento dos elétrons em uma molécula - é central tanto para a química quântica quanto para a equação de Schrödinger. A função de onda é uma entidade de alta dimensão e, portanto, é extremamente difícil capturar todas as nuances que codificam como os elétrons individuais afetam uns aos outros. Muitos métodos da química quântica na verdade desistem de expressar a função de onda por completo, em vez de tentar apenas determinar a energia de uma dada molécula. No entanto, isso requer que sejam feitas aproximações, limitando a qualidade da previsão de tais métodos.
As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo. A melhor das soluções, a rede neural profunda é uma maneira de representar as funções de onda dos elétrons. Em vez da abordagem padrão de compor a função de onda a partir de componentes matemáticos relativamente simples, os desenvolvedores projetaram uma rede neural artificial capaz de aprender os padrões complexos de como os elétrons estão localizados ao redor dos núcleos. Quando dois elétrons são trocados, a função de onda deve mudar seu sinal. Para que a solução funcione, essa propriedade foi construída na arquitetura da rede neural. Esse recurso é conhecido como princípio de exclusão de Pauli. Além do princípio de exclusão de Pauli, as funções de onda eletrônica também têm outras propriedades físicas fundamentais, e o sucesso da abordagem PauliNet é que ela integra essas propriedades na rede neural profunda, em vez de permitir que o aprendizado profundo as decifre apenas observando os dados. Com esta abordagem de 2020, as possibilidades se abrem para resolver problemas nas ciências moleculares e materiais.
Origens da Equação A equação de onda clássica é dada por
onde v é a velocidade da onda, nesse caso as soluções são
e
a solução geral é
temos outra solução que resolve a equação de onda A equação exponencial
agora calculando a segunda derivada da equação obtemos
defenimos como se eu somar com ele retorna ao mesmo valor da equação anterior
e conseguimos uma relação parecida para onde ao envez de mudamos para
obtendo essas propriedades sobre a onda colocamos na solução
no caso da luz a velocidade da luz chamamos de
A equação de onda para 3 dimensões usamos a seguinte equação:
e com as mesmas propriedades.
Em 1905, Albert Einstein publicou o artigo “Sobre um ponto de vista heurístico concernente à geração e transformação da luz”, no qual explicou o efeito fotoelétrico ao propor que a luz é composta por quantas de energia, posteriormente chamados de fótons.
Esses “pacotes” de energia possuem valor dado por:
onde é denominada de constante de Plank
Posteriormente em 1924, Louis de Broglie propôs em sua tese de doutorado intitulada "Recherches sur la théorie des quanta" (Pesquisas sobre a teoria dos quanta), defendida na Universidade de Paris a seguinte equação baseado na equação da Relatividade e no Efeito fotoelétrico.
para massas muito pequenas o termo fica desprezível e obtemos
igualando as duas equações
usando a propriedade
obtemos:
Broglie propôs então a dualidade onda-partícula e que toda particula tem uma onda associada
Sabendo que a energia total é dada pela soma da energia cinética com a potencial:
definimos então outra constante,
multiplicamos ambos lados pela nossa função de onda associada a particula
Obtemos a Equação de Schrödinger
A função de onda
Quando formulou a equação de onda em 1926, Erwin Schrödinger inicialmente não sabia oque representava. Posteriormente, Max Born reinterpretou o quadrado do módulo da função de onda como uma densidade de probabilidade, estabelecendo a interpretação probabilística da mecânica quântica.
corresponde à probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre x e x+dx, conforme a interpretação proposta por Max Born.
A equação de Schrödinger implica a conservação da probabilidade. De fato, a partir de
e de sua conjugada complexa, obtém-se uma equação de continuidade para a densidade de probabilidade, da qual segue que
garantindo que a probabilidade total permanece constante no tempo.
Equação Equação dependente do tempo Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante por . A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:
Em que é a unidade imaginária, é a constante de Planck dividida por , e o Hamiltoniano é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.
Equação independente do tempo Equação unidimensional Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:
,
em que é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ; é a constante de Planck dividida por ; é a massa da partícula; é a função energia potencial e é a energia do sistema.
Equação multidimensional Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:
em que é o operador laplaciano em dimensões aplicado à função .
Relação com outros princípios Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:
Definição de Energia Mecânica:
Equação do Oscilador harmônico:
Relação de De Broglie:
Onde é a função de onda, é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.
Da Relação de De Broglie, temos que , que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:
Rearranjando a equação de energia, temos que , substituindo na equação anterior:
, definindo , temos:
Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:
, em que é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.
Partícula em uma caixa rígida
Oscilador harmônico quântico
Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:
Lembrando a relação , também pode se escrever:
Então a equação de Schrödinger para o sistema é:
Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:
em que Hn são os polinômios de Hermite.
E os níveis de energia correspondentes são:
Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.
Átomo de Hidrogênio
Ver também Mecânica Quântica Gato de Schrödinger Nobel de Física
Categoria:Mecânica quântica Categoria:Equações diferenciais parciais Categoria:Erwin Schrödinger Categoria:Mecânica ondulatória