Em matemática, um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.
Definição formal Mais formalmente, um anel comutativo com unidade é chamado de corpo se:
Resulta da comutatividade de que o da definição anterior também satisfaz a condição Por outro lado, só pode haver um único naquelas condições. De facto, se e forem tais que então
Este elemento designa-se por inverso de e representa-se por
Um corpo não tem divisores de zero. Efectivamente, se e forem dois elementos de diferentes de então ≠ pois ≠ 0. Mas se se tivesse então ter-se-ia
Exemplos e contra-exemplos de Corpos Exemplos Os números complexos Jacobson, 1985, p. 87–91 e seus subcorpos, entre os quais: o corpo dos números racionais o corpo dos números algébricos; o corpo dos números reais o menor corpo, formado pelos números e em que Este conjunto com as operações de adição e multiplicação satisfaz todos os axiomas de anel, é comutativo e tem unidade. Além disso, como em qualquer anel com unidade, é o elemento inverso de onde p é um número primo. Como conjunto,
A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em então (respectivamente ) é o resto da divisão por da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros e os números hiperreais, uma extensão de que inclui infinitesimais. os números surreaisOs números surreais, na sua formulação original, não formam um conjunto. Consequente, não são um corpo. No entanto, esta limitação pode ser ultrapassada, limitando a construção dos números surreais a um Universo de Grothendieck.
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Contra-exemplos quando não é um número primo, não é um corpo, pois tem divisores de zero. Os quaterniões não formam um corpo, porque a multiplicação não é comutativa.
Característica Dado um corpo considere-se a sucessão … Há duas possibilidades. Todos os termos da sucessão são diferentes de Diz-se então que o corpo tem característica Alguns termos da sucessão são iguais a Diz-se então que o corpo tem característica onde é o menor número natural tal que ··· ( vezes) = 0.
O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica para cada número primo o corpo Zp tem característica
Se um corpo tem característica então é um número primo. De facto, a função
é tal que se e são números naturais, então Por outro lado, se tiver característica então Se não fosse primo, tinha-se com e números naturais menores do que pelo que Mas então ou Isto é impossível pois, por definição, é o menor número natural tal que
Se um corpo F tem característica p (em que p é zero ou um número primo), então existe um subcorpo e um isomorfismo de corpos (p = 0) ou (p primo). Além disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ são únicos.
Corpos de fracções
Seja um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar num corpo Basta definir em × \ a seguinte relação de equivalência ∼: ∼ se e só se Se for um elemento de × \ seja a sua classe de equivalência. Seja o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de e as seguintes operações:
Então é um corpo e a função
é uma função injectiva de em O corpo designa-se por corpo de fracções do anel Jacobson, 1985, p. 116–117
Exemplos: O corpo dos números racionais é o corpo de frações do anel dos números inteiros. Seja um aberto conexo não vazio de C. As funções holomorfas de em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fracções é o corpo das funções meromorfas de em C.
Ver também Teoria dos corpos Corpo topológico, em que a estrutura de espaço topológico deve ser tal que garanta a continuidade de várias operações do corpo Corpo ordenado, em que existe uma relação de ordem total compatível com as operações de corpo
Bibliografia
Categoria:Estruturas algébricas Categoria:Teoria dos corpos