thumb|O gráfico do logaritmo na base 2 atravessa o eixo das abcissas em x = 1 e passa pelos pontos com coordenadas , e . O gráfico se aproxima do eixo das ordenadas, mas não chega a tocá-lo. Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de na base 10 é 3 porque 10 elevado ao cubo é (). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1, .
O logaritmo da base 10 (b 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a constante irracional e (≈ 2,718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b 2), que é importante para a ciência da computação.
O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no ano de 1614, a fim de simplificar cálculos, daí a nomenclatura logaritmo neperiano. Ele foi rapidamente adotado por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos, através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas. Algumas etapas tediosas da multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por consultas a tabelas ou por somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o somatório dos logaritmos dos fatores: desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1.
A atual noção de logaritmo advém de Leonhard Euler, que o relacionou com a função exponencial no século XVIII. As escalas logarítmicas permitem reduzir grandezas de elevada amplitude para valores menores. Por exemplo, o decibel é uma unidade logarítmica que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da energia liberada e a amplitude. Em química, o potencial hidrogeniônico (pH) mede a acidez e a alcalinidade de soluções aquosas. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas científicas, na teoria da complexidade computacional e de figuras geométricas chamadas fractais. Eles descrevem intervalos musicais, aparecem em fórmulas que contam os números primos, informam vários modelos da psicofísica e podem auxiliar na perícia contábil.
Do mesmo modo como o logaritmo é o inverso da exponenciação, o logaritmo complexo é a função inversa da função exponencial aplicada a números complexos. O logaritmo discreto é outra variante; ele é utilizado na criptografia assimétrica.
Razão e definição
A ideia dos logaritmos é reverter a operação de exponenciação, isto é, elevar um número a uma potência. A título de exemplo, a potência de três (ou o cubo) de 2 é 8, porque 8 é o produto dos três fatores de 2:
Disso resulta que o logaritmo de 8 na base 2 é 3, ou seja: log2 8 = 3.
Exponenciação
A potência de três de qualquer número b é o produto de três fatores de b. De forma mais geral, elevar b à enésima potência, quando n é um número natural, se realiza pela multiplicação de n fatores de b. A enésima potência de b é escrita como bn, que significa:
A exponenciação pode ser estendida para by, onde b é um número positivo e o expoente y é qualquer número real. Por exemplo, b−1 é o inverso de b, ou seja, ., esp. seção 2
Definição O logaritmo de um número positivo real , na base , é o expoente pelo qual deve ser elevado para se chegar a , sendo um número positivo real diferente de . Em outras palavras, o logaritmo de na base é a solução de na equação :
onde
é a base do logaritmo; é o logaritmando; é o próprio logaritmo; Sendo pronunciado como "o logaritmo de na base ".
Exemplos
, visto que .
Os logaritmos também podem ser negativos:
porque:
Um terceiro exemplo é: log10(150) é aproximadamente 2,176, que se localiza entre 2 e 3, da mesma forma como 150 está entre e . Finalmente, para qualquer base b, e , pois e , respectivamente.
Identidades logarítmicas
Várias fórmulas são importantes para relacionar um logaritmo a outro, e essas relações são chamadas de identidades logarítmicas ou leis de log., e
Produto, quociente, potência e raiz
A tabela a seguir lista algumas identidades logarítmicas com exemplos, sendo que todas podem ser derivadas após a substituição da definição de logaritmo e/ou nos primeiros membros.
FórmulaDescrição Exemplo produto O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos números a serem multiplicados quociente O logaritmo da razão é a diferença dos logaritmos potência no logaritmando O logaritmo da p-ésima potência de um número é p vezes o logaritmo do número em questão raiz A p-ésima raiz de um número é o logaritmo do número dividido por p.
Mudança de base
O logaritmo logb(x) pode ser calculado a partir dos logaritmos de x e de b, ambos com uma base arbitrária k, utilizando a seguinte fórmula:
As típicas calculadoras científicas calculam os logaritmos nas bases 10 e e., p. 21 Logaritmos com respeito a qualquer base b podem ser determinados usando qualquer um desses logaritmos, segundo a fórmula:
Dado um número x e seu logaritmo logb(x), a base desconhecida b é dada por:
Bases particulares
Entre todas as opções para a base, três são particularmente comuns. , (a constante matemática irracional e (o logaritmo binário). Na análise matemática, o uso do logaritmo de base é generalizado por causa de suas particulares propriedades analíticas. Por outro lado, logaritmos de (o logaritmo comum) são mais fáceis para cálculos manuais no sistema de numeração decimal.
Assim, está relacionado com o número de dígitos decimais de um inteiro positivo x, isto é, o número de dígitos é o menor número inteiro estritamente maior que . Por exemplo, é aproximadamente 3,15: o próximo inteiro é 4, que é a quantidade de dígitos de . Tanto o logaritmo natural quanto o logaritmo binário são utilizados na teoria da informação, o que corresponde respectivamente ao uso de nats ou bits como unidades fundamentais de informação. Os logaritmos binários também são usados na ciência da computação, onde o sistema binário é onipresente; na teoria musical, onde uma proporção de dois tons (a oitava) é onipresente e o número de cent entre quaisquer dois tons é uma versão escalonada do logaritmo binário, ou log 2 vezes 1200, da proporção de tons (ou seja, 100 cents por semitom no temperamento igual convencional), ou equivalentemente o logaritmo de base ; e na fotografia, logaritmos de base 2 redimensionados são usados para medir valores de exposição, níveis de luz, tempos de exposição, aberturas de lentes e sensibilidade fotográfica.
A abreviação é frequentemente usada quando a base pretendida pode ser inferida com base no contexto ou disciplina, ou quando a base é indeterminada ou imaterial. Logaritmos comuns (base 10), historicamente usados em tabelas de logaritmos e réguas de cálculo, são uma ferramenta básica para medição e computação em muitas áreas da ciência e engenharia; nesses contextos, ainda frequentemente significa o logaritmo de base dez. Na matemática, geralmente significa o logaritmo natural (base ). Em ciência da computação e teoria da informação, frequentemente se refere a logaritmos binários (base 2). A tabela a seguir lista notações comuns para logaritmos para essas bases. A coluna "notação ISO" lista designações sugeridas pela Organização Internacional de Normalização.
Base Nome para logb x Notação ISO Outras notações 2 logaritmo binário , , , logaritmo natural , 10 logaritmo comum , logaritmo de base
História
Antecessores
Os babilônios, entre os anos de 2000–1600 a.C., podem ter inventado a multiplicação dos quadrados dos quartos para multiplicar dois números utilizando somente a adição, a subtração e uma tabela de quadrados dos quartos. Entretanto, ele não poderia ser usado para divisão sem uma tabela adicional dos inversos (ou o conhecimento de um algoritmo suficientemente simples para gerar os inversos). Grandes tabelas de quadrados dos quartos foram utilizadas para simplificar a multiplicação precisa de grandes números a partir de 1817, até este método ser substituído pela utilização dos computadores.
O matemático indiano Virasena trabalhou com o conceito de ardhaccheda, o número de vezes em que um número da forma 2n pode ser dividido por 2. Para potências exatas de 2, este é o logaritmo naquela base, que é um número inteiro; para outros números, ele é indefinido. Ele descreveu relações como a fórmula do produto e também introduziu logaritmos inteiros nas bases 3 (trakacheda) e 4 (caturthacheda).
Michael Stifel publicou Arithmetica integra em Nuremberg em 1544, contendo uma tabela de inteiros e potências de 2, sendo considerada uma versão inicial da tabela logarítmica.
No final do século XVI e início do século XVII, um algoritmo chamado prosthaphaeresis foi usado para aproximar a multiplicação e a divisão. Isto usava a identidade trigonométrica
ou similar para converter as multiplicações em adições, bem como consultas a tabelas. Entretanto, os logaritmos são mais diretos e requerem menos trabalho. Pode-se demonstrar, com o uso da Fórmula de Euler, que os dois métodos são relacionados.
De Napier a Euler thumb|150px|right|John Napier (1550–1617), o inventor dos logaritmos. O método dos logaritmos foi proposto publicamente em 1614 por John Napier, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos). Joost Bürgi construiu uma tabela de potências com base muito próxima a 1, e esta tabela fornecia uma boa correspondência entre os inteiros 1-10 (ou 10-100, etc.) e expoentes que podiam ser somados. Esta tabela foi impressa (mas talvez não publicada) em 1620. Entretanto, Bürgi não definiu uma função abstrata contínua como Napier, e também não resolveu a precisão das interpolações, o que também foi trabalhado por Napier.
Johannes Kepler, que usou tabelas de logaritmos extensivamente para compilar o seu Ephemeris, que depois dedicou a Napier,, p. 44 observou:
Por meio de subtrações repetidas, Napier calculou para L variando de 1 a 100. O resultado para L=100 é aproximadamente 0,99999 = 1 − 10−5. Napier então calculou os produtos desses números com para L de 1 a 50, e fez similarmente com e . Esses cálculos, que levaram vinte anos, permitiram-lhe fornecer, para qualquer número N de 5 a 10 milhões, o número L que resolve a equação
Napier primeiro chamou L um “número artificial”, mas depois introduziu o termo “logaritmo” para significar um número que indica uma razão: (logos) significando proporção, e (arithmos) significando número. Em notação moderna, a relação para logaritmos naturais é:
onde uma boa aproximação corresponde à observação que
A invenção dos logaritmos foi rápida e amplamente recebida com elogios. Os trabalhos de Bonaventura Cavalieri (Itália), Edmund Wingate (França), Xue Fengzuo (China) e Johannes Kepler (Alemanha) ajudaram a espalhar e expandir ainda mais o conceito e a utilidade dos logaritmos. A hipérbole (curva vermelha) e sua área dada por x = 1 a 6 (hachurada de laranja).|right|thumb Em 1649, Alphonse Antonio de Sarasa, antigo aluno de Grégoire de Saint-Vincent, relacionou os logaritmos com a quadratura da hipérbole, apontando que a área f(t) do gráfico de a satisfazEm 1647, Grégoire de Saint-Vincent publicou seu livro, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, vol. 2 (Antuérpia, (Bélgica): Johannes and Jakob Meursius, 1647). On page 586Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi … [Proposta de solução para um problema pelo reverendo padre Marin Mersenne, membro da ordem Minim … ], (Antuérpia, (Bélgica): Johannes e Jakob Meursius, 1649).