Pêndulo 260px|alt=Esquema de um pêndulo simples, com uma massa suspensa por um fio e deslocada da posição vertical. Modelo de um pêndulo gravitacional simples. Área Mecânica clássica Movimento Oscilação em torno de uma posição de equilíbrio Força restauradora Gravidade, no pêndulo gravitacional Período de pequenas oscilações , para o pêndulo simples ideal Aplicações Relógios, gravimetria, sismógrafos, ensino e isolamento de vibrações
Um pêndulo é um dispositivo mecânico formado por um corpo suspenso de modo que possa oscilar em torno de um ponto ou eixo de apoio.Merriam-Webster's Collegiate Encyclopedia. "Pendulum". Merriam-Webster, 2000, p. 1241. ISBN 978-0-87779-017-4. No pêndulo gravitacional, quando o corpo é afastado lateralmente de sua posição de equilíbrio mecânico, a gravidade produz uma força restauradora que o acelera de volta em direção ao equilíbrio. Ao passar por essa posição, o corpo mantém seu movimento por inércia e sobe do outro lado, iniciando uma oscilação. O tempo necessário para completar um ciclo é chamado de período. No modelo simples, ele depende do comprimento do pêndulo, da aceleração da gravidade local e da amplitude da oscilação. Para amplitudes pequenas, a dependência da amplitude pode ser desprezada.
A regularidade desse movimento permite usar o pêndulo na medição do tempo. O relógio de pêndulo foi inventado por Christiaan Huygens em 1656. Durante cerca de 270 anos, relógios desse tipo foram empregados em residências, escritórios e observatórios. Modelos de precisão, como o Shortt-Synchronome, chegaram a erros próximos de um segundo por ano. A partir da década de 1930, os relógios de quartzo passaram a substituí-los como padrões de tempo.
Pêndulos também são empregados em instrumentos científicos, entre eles acelerômetros e sismógrafos. Foram usados como gravímetros para medir a aceleração da gravidade e como referência para padrões de comprimento. Suspensões formadas por pêndulos em cascata são usadas para isolar instrumentos de vibrações do solo, como nos detectores de ondas gravitacionais do LIGO.
A palavra "pêndulo" vem do neolatim pendulum, derivado do latim pendulus, "pendente" ou "suspenso".
Mecânica
Pêndulo gravitacional simples
O pêndulo gravitacional simples é um modelo matemático idealizado. Consiste em uma massa pontual presa à extremidade de um fio ou haste de massa desprezível, com comprimento constante e ponto de suspensão fixo. Desprezam-se o atrito, a resistência do ar e as variações do campo gravitacional ao longo da trajetória.
Quando é solto de uma posição afastada do equilíbrio, sem energia suficiente para dar uma volta completa, o pêndulo ideal oscila com amplitude constante. Em um pêndulo real, o atrito no apoio e o arrasto do ar dissipam energia, fazendo a amplitude diminuir. Um mecanismo externo pode repor essa energia, como ocorre nos relógios de pêndulo.
Um fio flexível só pode exercer tração. Por isso, nem todo movimento permitido pelo modelo de haste rígida pode ser realizado por uma massa presa a um fio. Uma massa solta do repouso acima da altura do ponto de suspensão, por exemplo, não mantém o fio esticado durante toda a trajetória.
Equação do movimento e energia
Para um pêndulo simples que se move num plano, a componente tangencial da segunda lei de Newton fornece
onde é o ângulo em relação à vertical descendente, é o comprimento e é a aceleração da gravidade. A presença de torna essa equação diferencial ordinária não linear.
Sem forças dissipativas, a energia mecânica permanece constante. Tomando a energia potencial gravitacional como zero no ponto mais baixo,
em que é a massa e é a velocidade angular. Nos extremos de uma oscilação, a velocidade é zero e a energia é inteiramente potencial. No ponto mais baixo, a velocidade e a energia cinética atingem seus maiores valores.
miniatura|Energia potencial normalizada, acima, e retrato de fase, abaixo, de um pêndulo simples sem amortecimento. As órbitas fechadas correspondem a oscilações, e as curvas que avançam continuamente em ângulo correspondem a rotações. A separatriz passa pelos pontos de equilíbrio instável.
No modelo com uma haste rígida de massa desprezível, a energia potencial da posição vertical superior é
Para , o pêndulo permanece em repouso na posição inferior. Se , ele oscila. Com , pode permanecer em repouso no equilíbrio instável superior ou seguir uma separatriz, aproximando-se assintoticamente dessa posição. Para , há energia suficiente para rotações completas.
Período de oscilação
As animações mostram o aumento do período com a amplitude. Os movimentos de grande amplitude pressupõem uma ligação que mantenha a distância ao ponto de suspensão, como uma haste rígida.
O período de um pêndulo gravitacional simples depende de seu comprimento, da aceleração da gravidade local e da amplitude angular . Ele não depende da massa. Para pequenas amplitudes,A aproximação de pequenos ângulos substitui por , com o ângulo expresso em radianos. Sua adequação depende da precisão necessária ao cálculo. o período é aproximadamente
(1)
Essa expressão resulta da substituição de por na equação do movimento.
Para pequenas oscilações, amplitudes diferentes produzem períodos quase iguais. Esse isocronismo aproximado permite empregar o pêndulo na medição do tempo. Para amplitudes maiores, o período aumenta. Com amplitude de 0,4 radiano, cerca de 23°, ele é aproximadamente 1% maior que o valor da equação 1. Quando a amplitude se aproxima de π radianos, ou 180°, o período tende ao infinito.
O período exato das oscilações, para , pode ser escrito por meio da integral elíptica completa de primeira espécie:
com
Nessa notação, é o módulo da integral elíptica. Sua expansão fornece
ou, em potências da amplitude expressa em radianos,
Essas expressões quantificam a diferença entre o período real do modelo ideal e sua aproximação para pequenos ângulos.James George Joseph Penderel-Brodhurst. "Clock". Encyclopædia Britannica, 11.ª edição, volume 6, 1911, pp. 536–553, especialmente p. 538.
Na relojoaria, essa diferença é chamada de erro circular. Para um pêndulo que percorre um arco total de 6°, com amplitude de 3°, ela equivale a aproximadamente 15 segundos por dia. Um relógio pode ser regulado para compensar o desvio numa amplitude determinada. Mudanças de amplitude, porém, alteram novamente sua marcha.
O primeiro termo corretivo,
melhora a aproximação de pequenos ângulos. Richard B. Kidd e Stuart L. Fogg propuseram em 2002 outra fórmula elementar:
Ela permite estimar o período sem calcular uma integral elíptica.
Em 2006, Fábio M. S. Lima, da Universidade de Brasília, e P. Arun apresentaram a aproximação
Ela também se aplica além do regime de pequenos ângulos. No limite de amplitude nula, a razão é interpretada por seu limite e o resultado tende a .
Para pequenas oscilações, o movimento aproxima-se de um movimento harmônico simples:
onde a fase depende das condições iniciais.
Em pêndulos reais, o período também depende da massa e da elasticidade da suspensão, das dimensões do corpo pendular, do empuxo do ar e das forças dissipativas. Experimentos de precisão precisam considerar esses efeitos. Um pêndulo amortecido e submetido a uma força periódica externa pode apresentar movimento regular ou caótico, dependendo dos parâmetros e das condições iniciais.
Pêndulo composto
miniatura|Pêndulo composto, com ponto de suspensão P, centro de gravidade S e centro de oscilação C.
Um corpo rígido que oscila sob a ação da gravidade em torno de um eixo horizontal fixo é chamado de pêndulo composto ou pêndulo físico. Seu período depende da distribuição de massa, e não apenas da distância entre o eixo e o centro de massa.
O pêndulo composto tem um comprimento equivalente, igual ao comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período, quando se comparam oscilações de mesma amplitude angular. Esse comprimento corresponde à distância entre o eixo de suspensão e o centro de oscilação, situado na linha que passa pelo centro de massa.Christiaan Huygens. Horologium Oscillatorium, 1673, parte 4, proposição 5. Tradução e notas de Ian Bruce. Texto e índice da tradução.
O comprimento equivalente é
onde é o momento de inércia em torno do eixo de suspensão, é a massa total e é a distância desse eixo ao centro de massa. Para pequenas oscilações,
Quando quase toda a massa está concentrada num corpo pequeno em comparação com o comprimento do pêndulo, o centro de oscilação fica próximo do centro de massa.
Uma haste fina e uniforme de comprimento , suspensa por uma extremidade, tem momento de inércia e centro de massa a uma distância do apoio. Seu período de pequenas oscilações é
Ela equivale, portanto, a um pêndulo simples com dois terços de seu comprimento.
Em 1673, Christiaan Huygens demonstrou que o ponto de suspensão e o centro de oscilação são intercambiáveis. Se o pêndulo for invertido e suspenso pelo antigo centro de oscilação, com eixo paralelo ao anterior, terá o mesmo período. O antigo ponto de suspensão passa a ser seu novo centro de oscilação.Christiaan Huygens. Horologium Oscillatorium, 1673, parte 4, proposição 20. Tradução de Ian Bruce. Essa propriedade foi empregada por Henry Kater na construção de seu pêndulo reversível, em 1817.
Pêndulo duplo
miniatura|Pêndulo composto duplo em movimento caótico. As duas partes têm o mesmo comprimento e a mesma massa, distribuída uniformemente. A animação foi calculada pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Um pêndulo duplo consiste em um pêndulo com outro preso à sua extremidade. Seu movimento é governado por equações diferenciais acopladas e pode apresentar grande sensibilidade às condições iniciais. Embora seja frequentemente chamado de pêndulo caótico, nem todo movimento desse sistema é caótico. Existem também regimes regulares, incluindo pequenas oscilações próximas do equilíbrio.
Pêndulo esférico e pêndulo cônico
miniatura|No pêndulo cônico, a massa percorre uma circunferência horizontal e a suspensão mantém um ângulo constante com a vertical.
Um pêndulo esférico é a generalização tridimensional do pêndulo simples. A massa permanece a uma distância fixa do ponto de suspensão, mas pode mover-se sobre uma superfície esférica. No modelo ideal, conservam-se a energia mecânica e a componente vertical do momento angular.
O pêndulo cônico é um caso particular. A massa percorre uma circunferência horizontal com velocidade constante, enquanto o fio ou a haste mantém a mesma inclinação em relação à vertical e varre uma superfície cônica.
História
miniatura|Reconstrução do sismoscópio de Zhang Heng. O mecanismo interno do instrumento original não é conhecido em todos os detalhes.
Em 132, o cientista chinês Zhang Heng, da dinastia Han, apresentou um sismoscópio que assinalava a ocorrência e a direção de tremores. O instrumento original se perdeu. Reconstruções de seu mecanismo empregam sistemas pendulares, mas não há certeza sobre a disposição exata de suas peças internas. O aparelho tinha oito dragões distribuídos ao redor de um recipiente. Uma bola liberada pela boca de um deles caía na boca de um sapo metálico colocado abaixo, indicando uma direção.Joseph Needham. Science and Civilisation in China, volume 3, pp. 627–629.W. Scott Morton e Charlton M. Lewis. China: Its History and Culture. McGraw-Hill, Nova Iorque, 2005, p. 70.