thumb|237px|direita|Gráfico da equação . Aqui, é o número único maior que 1 que faz a área sob a curva ser igual a 1.

O número é uma constante matemática, aproximadamente igual a 2,71828, que é a base dos logaritmos naturais. Pode ser definido de diversas maneiras, como o limite de uma sequência, uma soma infinita, entre outras definições. O número também é chamado de número de Euler, nomeado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, porém este nome pode levar a confusão com os números de Euler, ou a constante de Euler, uma constante diferente, usualmente denotada . Alternativamente, pode ser chamada de constante de Neper, em homenagem a John Napier. A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos. Extract of page 166

O número é de grande importância na matemática, junto de 0, 1, , e . Todos os cinco aparecem numa formulação da identidade de Euler e têm papéis importantes e recorrentes na matemática. Semelhante à constante , é irracional (não pode ser representado como uma razão de dois inteiros) e transcendente (não é uma raiz de nenhuma função polinomial com coeficientes racionais).

Fundamentos Definições O número pode ser definido em termos de limite como

sendo essa expressão oriunda da análise de juros compostos.

Este número também pode ser expresso como soma de uma série infinita:

Ele também é o único número positivo tal que o gráfico da função tem um declive de 1 quando .

A função exponencial (natural) é a única função que é igual a sua própria derivada e que satisfaz a equação . Visto que a função exponencial é usualmente denotada como , tem-se que

O logaritmo de base pode ser definido como a função inversa de . Pelo fato de implicar em , é a base do logaritmo natural, pois .

O número também pode ser caracterizado utilizando uma integral:

Para outras caracterizações, veja .

Teoria dos números é irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Euler provou isso ao mostrar que a expansão de sua fração contínua não termina. (Ver também a Prova de Fourirer de que é irracional.)

Além disso, pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, é transcendente, o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Ele foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os números de Liouville); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873.

É conjecturado que seja normal, o que significa que quando é expresso em qualquer base, os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).

Na geometria algébrica, um período é um número que pode ser expresso como uma integral de uma função algébrica sobre um domínio algébrico. A constante é um período, mas é conjurado que não seja.

Valores aproximados e dígitos Algumas aproximações de incluem: Inteiros: 3 Frações: Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) , , , , , e . (Lista são termos selecionados de e .) Dígitos: Os primeiros 50 dígitos decimais são (ver )

Dígitos noutras bases Os primeiros 48 dígitos binários (base 2, chamado de bits) são (ver ) Os primeiros 36 dígitos em ternário (base 3) são (ver ) Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são (ver )

História thumb|As áreas sob a curva em intervalos proporcionais são iguais, propriedade que originou a relação entre a área da hipérbole e o logaritmo natural

A primeira referência à constante foi publicada em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por John Napier. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de logaritmos na base . Assume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred. Em 1647, Grégoire de Saint-Vincent, enquanto estudava a quadratura da hipérbole, demonstrou que a area sob a hipérbole entre e era igual à área entre e , para qualquer . Seu assistente, Alphonse Antonio de Sarasa, reconheceu que a propriedade descrita por Saint-Vincent acarretava a propriedade do produto, característica dos logaritmos, antecipando assim o conceito fundamental da função logarítmica de base . Em 1661, Christiaan Huygens estudou como calcular logaritmos por métodos geométricos e calculou uma quantidade que seria o logaritmo de base 10 de , mas ele não reconheceu o próprio como uma quantidade de interesse.

A constante em si foi introduzida por Jacob Bernoulli em 1683, para resolver problemas de juros continuamente compostos.Jacob Bernoulli considerou o problema da composição contínua de juros, o que levou a uma expressão em série para . Ver: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algumas questões sobre juros, com a solução de um problema sobre jogos de azar, proposto no Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), no ano de 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. Na página 222, Bernoulli coloca a questão: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este é um problema de outro tipo: A pergunta é se algum credor investisse [uma] soma de dinheiro [com] juros, deixasse acumular, de modo [que] a cada momento recebesse [uma] parte proporcional dos juros anuais; quanto seria devido [ao] final do ano?) Bernoulli constrói uma série de potências para calcular a resposta e, em seguida, escreve:" … quæ nostra serie [expressão matemática para uma série geométrica] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … que nossa série [uma série geométrica] é maior [do que]. … se , [o credor] terá a receber mais do que e menos do que .) Se , a série geométrica se reduz à série para , então . (** A referência é a um problema que Jacob Bernoulli propôs e que aparece no Journal des Sçavans de 1685, ao final da página 314.) Em sua solução, a constante ocorre como o limite

em que representa o número de intervalos em um ano em que o juro composto é calculado (por exemplo, para juros compostos mensalmente).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra por Gottfried Leibniz em cartas a Christiaan Huygens em 1690 e 1691.

Os primeiros registros de uso da letra para a constante, por Leonhard Euler, são de 1727 ou 1728, em um artigo não publicado sobre forças explosivas em canhões, e em uma carta para Christian Goldbach em 25 de novembro de 1731.Lettre XV. Euler à Goldbach, datado 25 de novembro de 1731 em: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Correspondência matemática e física de alguns geômetras famosos do século XVIII), vol. 1, (São Petersburgo, Russia: 1843), pp. 56–60, ver especificamente p. 58. Da p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … ( denota aquele número cujo logaritmo hiperbólico (isto é, logaritmo natural) é igual a 1), … ) A primeira aparição de em uma publicação impressa foi em Mechanica de Euler (1736).Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (São Petersburgo (Petropoli), Russia: Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Capítulo 2, Corolário 11, parágrafo 171, p. 68. Da página 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (Então isto [ou seja, , a velocidade] será ou , em que denota o número pelo qual o logaritmo hiperbólico [isto é, natural] é um.) É desconhecido o motivo pelo qual Euler escolheu a letra . Embora alguns pesquisadores tenham usado a letra nos anos subsequentes, a letra era a mais comum e tornou-se a padrão.

Euler provou que é a soma da série infinita

em que é o fatorial de . A equivalência das duas caracterizações usando o limite e a série infinita podem ser provados usando o binômio de Newton.

Aplicações Juros compostos thumb|direita|350px|O efeito de ganhar 20% de juros anuais num investimento inicial de mil dólares a várias frequências compostas. A curva limite no topo é o gráfico , em que está em dólares, em anos, e 0,2 = 20% Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:

Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses serão de 50%; então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo no fim do ano. Se forem considerados rendimentos trimestrais, renderão e, mensalmente, Se há intervalos compostos, os juros de cada intervalo serão e o valor no fim do ano será .

Bernoulli observou que essa sequência se aproxima de um limite à medida que aumenta e, assim, intervalos de rendimento diminuem. Com rendimento semanal (), o valor atinge $ 2,692596..., enquanto com rendimento diário () atinge $ 2,714567... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que cresce é o número que ficou conhecido como . Ou seja, com rendimentos contínuos, o valor da conta atinge $ 2,718281828... De maneira mais geral, uma conta que começa com um dólar e oferece uma taxa de juros anual de , após anos, resultará em dólares com capitalização contínua. Aqui, é a equivalência decimal da taxa de juros expressa em porcentagem, de modo que, para 5% de juros, .

Ensaio de Bernoulli thumb|300px|Gráfico de probabilidade de não observar eventos independentes, cada um de probabilidade , após ensaios de Bernoulli, e de versus  ; pode-se observar que à medida que aumenta, a probabilidade de um evento de chance de nunca acontecer após tentativas converge rapidamente para O Número também tem aplicações na teoria das probabilidades, de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue em uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de uma em jogadas e jogue vezes. À medida que aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as apostas aproxima-se de . Para , isso já é aproximadamente 1/2,789509...

Este é um exemplo de processo de Bernoulli. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em de ganhar. Considerando o caso de jogadas, pode-se modelar a situação pela distribuição binomial, que é proximamente relacionada ao binômio de Newton e ao triângulo de Pascal. A probabilidade de ganhar vezes das tentativas é de:

Em particular, a probabilidade de não ganhar nenhuma vez () é

O limite da expressão acima, quando tende a infinito, é precisamente .

Crescimento e decaimento exponencial

O crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade. Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a ordem quadrática). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um decaimento exponencial. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente, para a qual o número é uma escolha comum e conveniente:

Aqui, denota o valor inicial da quantidade , é o constante de variação, e é o tempo que leva para a quantidade aumentar um fator de .

Distribuição normal padrão

A distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário é conhecida como a distribuição normal padrão, dada pela função densidade de probabilidade