thumb|Um cone nulo onde
Na matemática, dado um espaço vetorial X com uma forma quadrática associada q, denotado por , um vetor nulo ou vetor isotrópico é um elemento não nulo x de X para o qual .
Na teoria das formas bilineares reais, as formas quadráticas definidas e as formas quadráticas isotrópicas são distintas. Elas se diferenciam pelo fato de que apenas para as últimas existe um vetor nulo não nulo.
Um espaço quadrático que possui um vetor nulo é chamado de espaço pseudo-euclidiano. O termo vetor isotrópico v quando q(v) = 0 tem sido usado em espaços quadráticos,Emil Artin (1957) Geometric Algebra, isotropic e espaço anisotrópico para um espaço quadrático sem vetores nulos.
Um espaço vetorial pseudo-euclidiano pode ser decomposto (de forma não única) em subespaços ortogonais A e B, , onde q é definida positiva em A e definida negativa em B. O cone nulo, ou cone isotrópico, de X consiste na união de esferas equilibradas:
O cone nulo também é a união das retas isotrópicas que passam pela origem.
Álgebras divididas Uma álgebra de composição com um vetor nulo é uma álgebra dividida (ou álgebra cindida).Arthur A. Sagle & Ralph E. Walde (1973) Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, página 197, Academic Press
Em uma álgebra de composição (A, +, ×, *), a forma quadrática é q(x) = x x*. Quando x é um vetor nulo, não existe inverso multiplicativo para x e, como x ≠ 0, A não é uma álgebra de divisão.
Na construção de Cayley–Dickson, as álgebras divididas surgem na série dos números bicomplexos, biquatérnios e bioctônios, que utiliza o corpo dos números complexos como base dessa construção de duplicação devida a L. E. Dickson (1919). Em particular, essas álgebras possuem duas unidades imaginárias, que comutam de modo que seu produto, quando elevado ao quadrado, resulta em +1: Então portanto 1 + hi é um vetor nulo. As subálgebras reais, números complexos divididos, quatérnios divididos e octônios divididos, com seus cones nulos representando o rastreamento da luz entrando e saindo de 0 ∈ A, sugerem a topologia do espaço-tempo.
Exemplos Os vetores tipo luz do espaço de Minkowski são vetores nulos.
Os quatro biquatérnios linearmente independentes , , e são vetores nulos e pode servir como uma base para o subespaço usado para representar o espaço-tempo. Os vetores nulos também são usados na abordagem do formalismo de Newman–Penrose para variedades do espaço-tempo.Patrick Dolan (1968) A Singularity-free solution of the Maxwell-Einstein Equations, Communications in Mathematical Physics 9(2):161–8, especialmente 166, hiperligação de Project Euclid
No módulo de Verma de uma álgebra de Lie existem vetores nulos.
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