150px|thumb|direita|Diagrama de Euler ilustrando o fato de que é subconjunto de ou, equivalentemente, que é superconjunto de Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto é também elemento de um conjunto , dizemos que é um subconjunto de , denotado (também dito " é uma parte de " ou " está contido em "). De forma complementar, é chamado um superconjunto de , simbolizado como (também dito " contém " ou " tem como parte").Uma notação alternativa para é subconjunto de , tão comum quanto é Similarmente, usa-se também para denotar que é superconjunto de . Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção de quantificação universal (∀), temos:

Propriedades A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, qualquer que seja o conjunto Realmente, a condicional é uma tautologia. Assim, tanto se como também se E, por definição, A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se e então Se (e assumir que é irrelevante). Então, assuma que e seja Por hipótese, e, pela definição de inclusão, Assim, Também por hipótese isto é, se também Em particular, para temos Como era arbitrário, todo elemento de é também elemento de ou seja, A inclusão de conjuntos é uma relação antissimétrica, ou seja, se e então De fato, isto é o que diz o axioma da extensão. Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio e uma coleção de subconjuntos de a relação de inclusão é uma relação de ordem parcial em A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, ) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal é identificado com o conjunto de todos os ordinais menores ou igual a então se e somente se

Subconjunto próprio Dizemos que um conjunto é um subconjunto próprio de um conjunto se ( é subconjunto de ) e ( é diferente de ). Explicitamos este fato com a notação especial ou ainda (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que está estritamente contido em ou seja, existe pelo menos um tal que Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, é o único subconjunto de um conjunto que não é próprio. Assim, dizemos que é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de

Exemplos O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado. O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}. O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}. O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade. O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Ver também Conjunto potência Função inclusão

Notas

Referências

Ligações externas "Subset", "Superset", "Proper Subset" e "Improper Subset" in MathWorld "Subset" in ProofWiki

Categoria:Teoria dos conjuntos Categoria:Conceitos básicos da teoria dos conjuntos

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