thumb|200px|Pierre-Simon Laplace. Em matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. A sua teoria foi desenvolvida mais a fundo entre o século XIX e o início do século XX por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich.
A transformada gera uma função de variável (frequência) a partir de uma função de variável (tempo) e vice-versa.
Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou sintetiza um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte uma equação diferencial em equação algébrica e uma convolução em multiplicação.
A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o cálculo operacional.Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente, refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que e . Assim, a transformada unilateral em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.A transformada de Laplace da função é uma função de , que representa a frequência. Utilizamos então como notação a letra maiúscula para a transformada e letra minúscula para a função.
Ex: ou .
Para calcular a transformada de Laplace de uma função aplicamos a integral e definimos algumas condições para podermos tirar o limite.
Ex:
, porém esse limite só existe se o .
Então conclui-se que:
Agora se considerarmos que realizando as integrações necessárias (por partes) concluímos que:
Com isso concluímos uma expressão para a transformada de :
A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.
História A transformada de Laplace ganhou esse nome em homenagem ao matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace, que usou uma transformada semelhante em um estudo sobre a teoria da Probabilidade. No final do século XIX e início do século XX, a teoria de geração de funções começou a ser mais desenvolvida pelo matemáticos Mathias Lerch, Oliver Heaviside e Thomas Bromwich; no entanto, somente após a segunda guerra mundial que a transformada de Laplace foi difundida (principalmente na engenharia), substituindo o cálculo operacional de Heaviside. O responsável por ter apresentado as vantagens de utilizar a transformada foi o matemático Gustav Doetsch.
Antes dos estudos de Laplace, alguns métodos de transformadas integrais foram apresentadas, mas pouco desenvolvidos. A partir de 1744, Leonhard Euler investigou a existência de integrais da forma
com a intenção de resolver equações diferenciais, mas não perseguiu o conceito.
Admirador de Euler, Joseph Lagrange, procurou compreender também, em seus estudos sobre a função densidade, expressões da forma
.
Foram com as mesmas intenções de Euler de resolver equações diferenciais que em 1782 Laplace começou seu estudo sobre esse tipo de integrais. Entretanto, em 1785, Laplace deu um passo crucial ao desenvolvimento da teoria de transformadas integrais. Ao invés de focar somente em encontrar soluções de equações a partir do uso da integral, ele passou a aplicar a transformada de modo que fosse encontrada a solução da transformada em si e não da equação inicial. Para isso, Laplace utilizou uma integral da forma
.
Região de convergência Dada uma função em que a sua integral é dada por: , definida somente para números reais positivos, e se convergir para algum valor, a integral será a transformada de Laplace da função . Que é representada por .
Condição de existência A integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Laplace. As funções e são algumas funções que não possuem transformada de Laplace.
Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem constantes , e tal que , .
As funções , e são de ordem exponencial, pois
Tal teorema apresenta condições suficientes para existência da transformada de Laplace. Estas condições não são, contudo, necessárias. Por exemplo, a função não é contínua na origem(sequer é limitada quando ) mas admite uma transformada de Laplace.
Comportamento no Infinito:
Demonstração: Por definição,
Estabelecendo u = s.t , obtemos:
Considerando que é limitada, existe tal que , portanto
Logo, quando resultando
Função de Heaviside A função de Heaviside é nula para um argumento negativo e unitária para um argumento positivo. Ela respeita a relação e pode ser definida como
Ao efetuar-se a mudança de variável , obtém-se a função de Heaviside com descontinuidade em :
Torna-se, naturalmente, importante notar que a função de Heaviside não existe em . Para isso, quando for necessário defini-la neste ponto, toma-se a "função rampa" como aproximação contínua:
Talvez a mais importante aplicação da função da Heaviside seja a função pulso.
Função Delta de Dirac Para entender matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar a função de Heaviside, com a condição de que , ou seja,Analogamente à função de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação,Considera-se então o Delta como o limite da função em um curto curto intervalo de tempo, quando o parâmetro tende a zero, isto é,
Assim, define-se a função Delta de Dirac comoAlgumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace são:
Filtragem Artigo principal: Filtragem Transformada do Delta de Dirac Artigo principal: Transformada de Laplace do Delta de Dirac
Aplicação do Delta de Dirac Uma aplicação em engenharia para a função Delta de Dirac, se dá na utilização da Equação do Helmholtz, usada para cálculos de um sistema de barragem albufeira, na qual o termo Albufeira significa uma área coberta de água, que foi retida pela construção de uma barragem ou até mesmo uma represa num rio, formando uma espécie de lago artificial. Pode ser também utilizada para modelagem de águas subterrânea principalmente de aquíferos, onde a função representa a vazão bombeada por um poço em um ponto específico.
Tabela de Teoremas e Propriedades DescriçãoDomínio do TempoDomínio ObservaçõesLinearidadeProva pela lei básica de integraçãoDerivada no Domínio da frequênciaDerivada Geral do Domínio da frequênciaforma geral da derivada de nDerivadaf é assumido como uma função diferenciável, e sua derivada é assumida como sendo do tipo exponencial. Isso pode ser obtido pela integração por partesSegunda derivada é assumido duas vezes diferenciável e a segunda derivada para ser do tipo exponencial. Segue aplicando a propriedade diferenciação para .N-ésima derivada s assumido como sendo n-diferenciável, com enésima derivada do tipo exponencial. Segue por indução matemática.Isso é deduzido usando a natureza da diferenciação de freqüência e convergência condicional.Integração do Tempo e a função de Heaviside e e a Convolução de e .Mudança de frequênciaMudança de Tempo função de Heavisideescalamento de tempoMultiplicaçãoConvoluçãoConjugamentoRelação CruzadaFunção periódica é uma função periódica do período então , para todo . isto e o resultado da mudança do tempo e a propriedade series geométricas.
Propriedades
A transformada de Laplace possui inúmeras propriedades operacionais que permitem a existência tanto da transformada direta quanto da inversa, para uma ampla gama de funções observadas na ciência. Suas propriedades são:
Linearidade
A transformada de Laplace é um operador linear:
Demonstração (REAMAT):
Portanto, tem-se que:
Método das frações parciais para calcular transformadas inversas
Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada
Suponha que P(X) e Q(x) são polinômios tais que o grau de P é menor que o grau de Q. O polinômio Q(x) pode ser fatorado em polinômios de graus um e dois:
com isso podemos encontrar constantes tais que:
esse método é usado para calcular integrais de funções racionais e transformadas inversas de Laplace.
Transformada de Laplace de uma derivada Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada
Transformada de Laplace de uma integral Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da integral
Deslocamento no tempo Artigo principal: Propriedade do deslocamento no tempo Deslocamento na frequência Artigo principal: Propriedade do deslocamento na frequência Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é,
Teorema da Convolução Artigo principal: Teorema do produto de ConvoluçãoExistindo duas funções contínuas por partes em , a convolução de f e g representada por f * g é definida pela integral:
Transformada de Laplace de uma função de período T Artigo principal: Transformada de Laplace de uma função periódicaSe é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período . Então a transformada de Laplace existe e é da forma:
Derivada da transformada de Laplace Se , então: .
Esta pode ser demonstrada usando a definição de transformada de Laplace:
Transformada de Fourier A transformada de Fourier continua e equivalente a avaliação bilateral da transformada de Laplace com argumentos imaginários
A definição de Fourier requer o prefixo na função reversa da transformada de fourier. Esta relação entre as transformadas de Fourier e Laplace e comumente usada para determinar o espectro de frequência de um sinal ou de um sistema dinâmico. A relação acima é válida somente se a região de convergência de F(s) contem o eixo imaginário, .
Integral da transformada de Laplace A propriedade que define a integral da transformada de Laplace apresenta-se como:Esta pode ser demonstrada ao aplicar-se a integração à definição fundamental da transformada de Laplace:
Tabela de transformadas de Laplace
A tabela provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável. Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.
Porque a transformada de Laplace é um operador linear:
A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.
A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.
Tabela resumida de transformações FunçãoDomínio de tempoLaplace s-domínioRegião de ConvergênciaReferênciaimpulso unitáriotodo sinspeçãoimpulso atrasadomudança de tempo do impulso unitárioDegrau UnitárioRe(s) > 0integral do impulso unitárioFunção ConstanteRe(s) > 0ConvoluçãoDegrau atrasadoRe(s) > 0mudança de tempo do passo únicoFunção RampaRe(s) > 0integral do impulso unitário duas vezesn-ésima potência ( para n inteiro)Re(s) > 0 (n > −1)Integral do passo único n vezesq-ésima potência (para q complexo)Re(s) > 0 Re(q) > −1Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.- Wolfram Mathword provides case for complex qRe(s) > 0Deixe q = 1/n acima.n-ésima potência com mudança de frequênciaRe(s) > −αIntegral do passo único aplique a mudança de frequêncian-ésima potência atrasada com mudança de frequênciaRe(s) > −αIntegral do passo único, aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempoDecaimento exponencialRe(s) > −αMudança de frequência do passo únicoDecaimento exponencial bilateral−α < Re(s) < αMudança de frequência do