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O problema da trissecção do ângulo (também: trisecção do ângulo) é uma questão da geometria que pergunta se é possível dividir um ângulo arbitrário em três ângulos iguais usando apenas régua e compasso (os instrumentos euclidianos). A trissecção do ângulo é um dos três problemas clássicos da matemática antiga e só é possível para certos ângulos. Embora a formulação do problema remonte à Antiguidade, apenas no século XIX foi demonstrado, com métodos da álgebra, que ele não pode ser resolvido em geral com régua e compasso.
A primeira prova dessa negatividade foi dada por Pierre Wantzel em 1837. Nela, o problema é reduzido a uma equação algébrica do terceiro grau, argumentando-se que suas soluções não são números construtíveis, ou seja, não podem ser construídos em um número finito de passos com régua e compasso a partir do comprimento 1. Para mostrar que não existe uma construção geral para a trissecção do ângulo, basta dar um único contraexemplo: por exemplo, não é possível trissectar o ângulo construtível de 60°, pois 20° não é construtível. No entanto, existem ângulos que não podem ser construídos com régua e compasso, mas podem ser trissectados com esses mesmos instrumentos (mais detalhes em Contabilidade do conjunto de ângulos trissectáveis) se forem dados inicialmente.
Embora uma construção clássica não seja possível, a trissecção de um ângulo pode ser realizada com a ajuda de materiais auxiliares, como uma régua marcada, na chamada construção neusis. Algumas dessas técnicas já eram conhecidas na Antiguidade. Em marcante contraste com o problema da trissecção do ângulo está a fácil bissecção do ângulo com régua e compasso, usando a bissetriz.
Problema clássico miniatura|alt=|Exemplos de ângulos trissectáveis: Para obter um terço do ângulo de 9°, é necessário, por exemplo, primeiro os ângulos de 30° e 18° para finalmente obter 3° (pentágono regular). Segundo a prescrição clássica, uma solução só é válida se o ângulo dado for dividido em três partes iguais usando apenas um compasso e uma régua não graduada. Isso, como já mencionado, não é possível em geral. No entanto, para ângulos especiais, a trissecção com os instrumentos euclidianos é possível, por exemplo, para qualquer múltiplo inteiro de 9°.
Os antigos gregos já tentaram, em vão, encontrar uma solução geral para ângulos arbitrários. Por volta de 1830, o matemático francês Évariste Galois criou os fundamentos da prova posterior de que isso não é possível em geral. O motivo dessa impossibilidade é esclarecido na seção Prova da impossibilidade.
Uma trissecção geral só é possível, portanto, se, além do compasso e da régua, forem utilizados instrumentos auxiliares adicionais, como uma trissecatriz, ou se forem feitas marcas na régua. Por outro lado, com régua e compasso, é possível obter soluções aproximadas tão boas quanto se queira (ver seção Métodos de aproximação).
História Antiguidade Foram os gregos que, no século V a.C., reconheceram o problema de dividir um ângulo arbitrário em três ângulos iguais. Provavelmente, esse problema ganhou destaque no interesse matemático quando eles tentaram construir uma tabela de cordas para fins astronômicos.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 44. Eles buscaram uma solução que usasse apenas régua e compasso não marcado – uma restrição atribuída a Œnopides de Quios (~ 440 a.C.) – mas não encontraram nenhuma que atendesse a essa exigência. Por exemplo, na tabela de cordas de Cláudio Ptolomeu no Almagesto, depara-se com a tarefa, não mais resolvível pela geometria elementar, de obter a corda de a partir da corda de . A trigonometria, necessária para a geometria das cordas, foi considerada por muitos séculos até Nicolau Copérnico (1473–1543) apenas como parte da astronomia e, portanto, tratada em obras astronômicas. O primeiro livro-texto independente de trigonometria foi escrito por Regiomontanus por volta de 1464, mas só foi publicado postumamente, quase 70 anos depois, em 1533.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 78.
Hípias de Elis (c. 460 a.C. – c. 400 a.C.) foi o primeiro a encontrar, por volta de 422 a.C., uma solução usando um chamado instrumento auxiliar adicional. Era uma curva auxiliar, conhecida como a trissecatriz de Hípias ou quadratriz de Hípias. Esta foi concebida até mesmo para a divisão de um ângulo em partes iguais. O nome quadratriz deriva do fato de que ela também resolve o problema da quadratura do círculo. Disso se conclui que se trata de uma curva transcendente. No entanto, ela é facilmente descritível, pois é gerada por dois movimentos simples.
Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) encontrou uma solução pragmática. Embora a atribuição a Arquimedes não seja certa, existe uma construção do heptágono regular transmitida apenas em árabe. Enquanto os polígonos regulares de três, quatro, cinco e seis lados podem ser inscritos em um círculo dado com régua e compasso, o heptágono já não pode mais. Algebricamente, a divisão do círculo em sete partes iguais leva a uma equação cúbica e, portanto, pertence à mesma classe de problemas que a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo. A construção supostamente encontrada por Arquimedes também usa apenas esses dois instrumentos, mas utiliza a régua de uma maneira não permitida na geometria euclidiana: ela é girada em torno de um ponto fixo até que dois triângulos, um dos quais cresce durante a rotação enquanto o outro diminui, tenham áreas iguais. Este é um tipo especial de construção por inserção ou neusis. O procedimento aplicado é de interesse teórico, mas não é praticamente utilizável.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 70. Hoje, é chamado de construção neusis. Mais tarde, Arquimedes criou uma curva especial, chamou-a de espiral (espiral de Arquimedes) e usou-a para a divisão de ângulos e a quadratura do círculo.
No século II a.C., Nicomedes concebeu um instrumento que permite satisfazer mecanicamente a exigência da construção neusis transmitida por Papo. As curvas assim construtíveis receberam, por sua forma, o nome de conchoide, em português curvas conchoides. O instrumento consiste em duas réguas fixadas perpendicularmente em forma de T, sobre as quais uma terceira pode se mover de uma maneira específica.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 46. Serviu-lhe, assim, como instrumento auxiliar adicional para a trissecção do ângulo.
Papo de Alexandria (século IV d.C.) pertencia ao círculo dos neoplatônicos alexandrinos. Suas Coleções são uma obra enciclopédica em oito livros; com exceção do primeiro e do início do segundo, todos foram preservados. No início da era moderna, os matemáticos europeus extraíram muitas inspirações das Coleções, pois elas contêm importantes extratos das obras de Euclides, Apolônio, Arquimedes e outros matemáticos. Papo ampliou esses extratos com comentários críticos e, por vezes, acréscimos próprios.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 77. Ele mostrou, entre outras, duas variantes diferentes para a solução da trissecção do ângulo com instrumentos auxiliares – uma pragmática com uma régua marcada como instrumento auxiliar adicional, ou seja, uma construção neusis (ver a seção O método de Papo) e uma segunda, na qual usou a hipérbole como trissecatriz.
Idade Média (séculos V a XV) Ahmad ibn Mûsâ viveu em meados do século IX em Bagdá e foi um dos três irmãos conhecidos como Banū Mūsā. Era astrônomo e matemático. Sua solução mostra duas assíntotas predeterminadas de uma hipérbole que passa por um ponto dado. Para a trissecção do ângulo, é necessária uma régua marcada e, portanto, uma construção neusis. Sua solução era muito semelhante à construção com tira de papel de Papo (ver a seção O método de Papo).
Tábite ibne Curra (826–901), de Bagdá, foi inicialmente cambista, interessou-se pela ciência, foi educado em matemática e também se dedicou à filosofia e à astronomia. Para sua construção neusis, ele também usou a hipérbole. Sua construção, no entanto, ao contrário da de Ahmad ibn Mûsâ, era mais exata e mais bem justificada. Sua solução também tinha grande semelhança com a construção com tira de papel de Papo.
A astronomia e a trigonometria muçulmanas atingiram seu auge no século XV no observatório de Ulugh Beg em Samarcanda. Lá trabalhou al-Kashi, que utilizou um hábil método iterativo para calcular o seno de com grande precisão a partir da equação da trissecção do ângulo. Em princípio, ele procedeu da seguinte forma. Como podia ser determinado com precisão arbitrária (por exemplo, a partir da diferença entre do pentágono e do hexágono, ambos construtíveis com régua e compasso), ele usou a equação da trissecção do ângulo: . Nesta notação trigonométrica, ela aparece pela primeira vez no final do século XVI com Viète. É do tipo (na classificação da época, os coeficientes – aqui , – eram assumidos como positivos). Al-Kashi calculou a primeira aproximação a partir de , obtendo . A segunda aproximação segue analogamente a partir de , e assim por diante, com a peculiaridade de que, a cada passo, é possível determinar com precisão mais uma casa sexagesimal. O resultado de al-Kashi, convertido para a notação decimal, fornece 18 casas:Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 179.
Um grande número de manuscritos árabes ainda não foi examinado em bibliotecas orientais, de modo que a pesquisa ainda não conseguiu traçar um quadro completo do desenvolvimento e do conhecimento alcançado.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 180.
Renascimento até a Idade Moderna Albrecht Dürer também contribuiu como matemático para a teoria da trissecção do ângulo. Além de boas construções aproximadas para o polígono regular de 7, 9, 11 e 13 lados, o segundo livro de sua Underweysung também contém a trissecção aproximada do ângulo. Em 1931, ela foi comparada com várias outras soluções aproximadas para a mesma tarefa, e mostrou-se que ela não se desvia do valor exato em mais de cerca de 20 segundo de arco e, portanto, supera todas as outras propostas de solução posteriores.F. Vogel: Über die Näherungskonstruktionen für die Dreiteilung eines Winkels. Zeitschr. f. Math. u. Naturwiss. Unterricht 62. Jhg., 1931, p. 145–155. A ideia construtiva de Dürer também pode ser facilmente iterada e, após alguns passos, fornece uma precisão muito alta. Em tudo, Dürer está plenamente consciente da diferença fundamental entre soluções exatas, que ele chama de demonstrativas, e soluções aproximadas, que ele chama de mecânicas, distinguindo-se assim até mesmo da maioria dos matemáticos profissionais de sua época.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, p. 283.