right|frame|Oscilador harmônico simples (ideal, sem amortecimento) Em física, especialmente em mecânica clássica, um oscilador harmônico é um sistema que, quando deslocado de sua posição de equilíbrio, sofre uma força restauradora F proporcional ao deslocamento x:
em que k é uma constante positiva.
Se F for a única força atuando no sistema, ele é denominado oscilador harmônico simples e estará sujeito a um movimento harmônico simples ( que se repete a intervalos regulares), constituído de oscilações senoidais em torno do ponto de equilíbrio, com amplitude e frequência constantes (sendo que a frequência independe da amplitude).
Caso haja também uma força de amortecimento proporcional à velocidade, o oscilador harmônico é descrito como um oscilador amortecido . O sistema pode, dependendo do coeficiente de amortecimento:
Oscilar com frequência menor que em um oscilador não-amortecido e com uma amplitude decrescente com o tempo (amortecimento subcrítico) Decair para a posição de equilíbrio, sem oscilações (amortecimento supercrítico) Decair mais rapidamente que no caso supercrítico, sem oscilações (criticamente amortecido)
Se houver uma força externa, dependente do tempo, atuando sobre o sistema, o oscilador harmônico, é dito forçado.
Classificação Segundo a Física clássica, bem como a Física quântica relativística pode ser classificado como:
oscilador harmônico simples (que não é forçado nem amortecido); oscilador harmônico complexo, (que é forçado e/ou amortecido): oscilador harmônico apenas forçado; ou oscilador harmônico apenas amortecido; ou oscilador harmônico forçado e amortecido;
Considerar osciladores harmônicos complexos como osciladores harmônicos simples ideais, (em sua idealização físico matemática), representa ganhos em diversos aspectos. No entanto, a rigor, cada tipo de oscilador requer um tratamento físico-matemático específico, como será visto abaixo.
Oscilador harmônico simples
O oscilador harmônico simples consiste em um sistema que contém uma massa, sobre a qual atua uma força F , que empurra a massa em direção ao ponto x=0 (posição inicial), e que depende apenas, da posição, da massa e de uma constante , o equilíbrio, segundo 2ª Lei de Newton, se dá por:
A aceleração a é igual a derivada segunda de x:
miniaturadaimagem|322x322px|O diagrama à direita mostra um ponto (preto) girando em um círculo de raio A sobre a origem. O ângulo que ele faz com o eixo x a qualquer momento t é ωt, onde ω é sua velocidade angular em radianos por segundo. Sua projeção no eixo y (vermelho) mostra um movimento harmônico simples, dado por y (t) = Asin (ωt). O diagrama da esquerda mostra o movimento plotado como uma função de ωt.
Se definirmos , então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:
Podemos observar que:
Substituindo:
Integrando:
onde K é uma constante, dado K = (A ω0)2
Integrando dos dois lados (sendo φ a constante resultante da integração) teremos:
E assim teremos a solução geral para x :
Sendo que a amplitude e a fase inicial serão determinadas através das condições iniciais.
Do mesmo modo poderíamos escrever:
Entretanto agora está deslocado em relação a forma anterior.
Ou senão podemos escrever também:
já que a que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para a equação diferencial.
A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:
Portanto, em suma, o movimento é periódico, repetindo-se de forma s com amplitude constante A. Além de sua amplitude, o movimento de um oscilador harmônico simples é caracterizado por seu período , o tempo para uma única oscilação ou sua frequência,, o número de ciclos por unidade de tempo. A posição em um determinado tempo t também depende da fase , que determina o ponto inicial da onda senoidal. O período e a frequência são determinados pelo tamanho da massa me pela constante de força k, enquanto a amplitude e a fase são determinadas pelas condições iniciais.
Oscilador harmônico amortecido alt=|miniaturadaimagem|352x352px|Comportamento do sistema amortecido em razão de γ
As oscilações harmônicas simples ocorrem em sistemas conservativos. No entanto, na prática sempre existe dissipação de energia. Assim, no caso de um pêndulo, as oscilações se amortecem devido à resistência do ar. As oscilações de um líquido em um tubo em U se amortecem devido à viscosidade do líquido. As vibrações de um diapasão produzem um som audível porque são comunicadas ao ar, gerando ondas sonoras. A energia utilizada para isto provém do oscilador, dando origem a amortecimento por emissão de radiação sonora.
Como já conhecido, a resistência de um fluido, como o ar, ao deslocamento de um obstáculo, é proporcional à velocidade para velocidades suficientemente pequenas, o que se aplica a pequenas oscilações. Portanto, quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa, dizemos que o oscilador e seu movimento são amortecidos. Em muitos sistemas que vibram a força de atrito Fa pode ser modelada como sendo proporcional à velocidade v do objeto: , onde b é uma constante de amortecimento.
O equilíbrio de forças (Segunda lei de Newton) para osciladores harmônicos é, então,
Dessa forma, a equação de um oscilador amortecido pode ser reescrita :
onde
é chamada de frequência natural do sistema, e
é chamado de coeficiente de amortecimento.
A solução desta equação é dada pela amplitude em função do tempo, e pode ser escrita como:
Podemos considerar a equação acima como uma função cosseno, cuja amplitude diminui gradualmente em função do tempo.
A velocidade angular do oscilador harmônico amortecido depende da frequência natural e é dada por :
, onde
, com ' f ' sendo o inverso do período de oscilação.
Em termos de energia, para um oscilador não amortecido, esta é constante. Se o oscilador é amortecido, a energia mecânica não é constante e diminui com o tempo.O cálculo da energia mecânica pode ser feito utilizando a seguinte expressão:
Casos de amortecimento O valor da frequência natural determina criticamente o comportamento do sistema. Nesse sentido, um oscilador harmônico amortecido pode ser:
Supercrítico (ω 0 < ): O sistema retorna (decai exponencialmente) para o estado estável sem oscilar. Neste caso, aparecerá na frequência final um termo real de forma que a oscilação não mais existirá (seno ou cossenos hiperbólicos).
Criticamente amortecido (ω 0 ≈ ): O sistema retorna para o estado estável tão rapidamente quanto possível sem oscilar. Isto é frequentemente desejado para o amortecimento de sistemas como os de portas. Outra aplicação para este tipo de amortecimento é o uso de balanças, onde ao ser efetuada uma pesagem, espera-se que a leitura estabilize-se no menor tempo possível ao invés de ficar oscilando por um longo período.
Subamortecido (ω 0 > ): O sistema oscila (com uma frequência levemente diferente que o do caso não amortecido) com a amplitude gradualmente decrescendo a zero. Neste caso, a solução de seno ou cosseno escrita em números complexos possui um expoente imaginário.
Oscilador harmônico forçado Até aqui, foi considerado apenas oscilações livres, em que o oscilador recebe uma certa energia inicial (através de seu deslocamento e velocidade iniciais) e depois é solto, evoluindo livremente. O período de oscilação é determinado pela própria natureza do oscilador, ou seja, por sua inércia e pelas forças restauradoras que atuam sobre ele. A oscilação é amortecida pelas forças dissipativas atuantes.
Agora, será estudado o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa periódica. O período desta força não coincidirá com o período próprio do oscilador, de modo que as oscilações por ela produzidas chamam-se oscilações forçadas. Portanto, para manter as oscilações num sistema harmônico amortecido é preciso fornecer energia ao sistema. Diz-se então que o sistema está sendo forçado ou excitado, como por exemplo em um circuito RLC (resistor-indutor-capacitor), ou então, as oscilações de uma pessoa sentada num balanço sob a ação de empurrões periódicos.
A força atuante sobre o sistema é uma força diretriz, de variação com o tempo e é da forma:
, onde é o módulo máximo da força e é a frequência angular da força diretriz.
A força resultante será a soma das forças diretriz periódica, restauradora elástica e de atrito. Logo, pela Segunda Lei de Newton:
Que usualmente é reescrita na forma:
Vale ressaltar que é diferente de . O oscilador oscila com a frequência da força aplicada ( ) e não com sua frequência natural ( ).
A solução desta equação é obtida pela soma de duas funções: a primeira (XH), que corresponde a qualquer um dos casos discutidos do movimento harmônico amortecido, só existe no início do movimento. Já a segunda função (XNH) permanece durante todo o movimento.
Portanto:
Ressonância No caso particular em que não há amortecimento (b=0) e a frequência diretriz é equivalente à frequência natural do sistema ( ), a amplitude tende ao infinito. A esse fenômeno é atribuído o nome de ressonância. Alguns exemplos de aplicação e ocorrência de ressonância estão listados abaixo:
Marcha sobre pontes: Um dos efeitos catastróficos produzidos pela ressonância é o desabamento de pontes que entram em ressonância com a marcha cadenciada de uma tropa de soldados ao atravessá-las.
Taças de cristal: Cantores de ópera conseguem quebrar um cálice com o poder de suas vozes, ao induzirem vibrações muito fortes. Sons emitidos por órgãos e flautins são capazes de quebrar janelas. Colapso da Ponte de Tacoma (USA - 1940): O fenômeno da ressonância desempenha um papel importante no projeto de sistemas mecânicos, nos quais há forças vibratórias, pois as grandes amplitudes previstas podem ocasionar uma ruptura do sistema. Neste caso, a força externa apareceu em decorrência da má aerodinâmica da ponte. Queda de aviões comerciais (1959-1960): Um avião comercial ultrapassou uma velocidade crítica provocando trepidação excessiva da hélice e do motor; essa vibração foi transferida para a asa, que já apresentava seu próprio movimento oscilatório de modo que a amplitude de movimento foi tamanha que a asa partiu-se. Tuned mass damper: Um amortecedor de massa sintonizado, também conhecido como absorvedor harmônico ou amortecedor sísmico, é um dispositivo montado em estruturas para reduzir a amplitude das vibrações mecânicas. Sua aplicação pode evitar desconforto, danos ou falha estrutural direta. Eles são frequentemente usados em transmissão de energia, automóveis e edifícios.
Análise do oscilador harmônico amortecido pela Transformada de Laplace O oscilador harmônico é um sistema que pode ser resolvido de diversas maneiras e uma delas é por meio da Transformada de Laplace. A equação que define o movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton:
onde a = é a aceleração e representa o somatório de todas as forças presentes.
As forças envolvidas são a força da mola F1 = e a força de atrito F2 = . Os termos e representam a constante da mola, a constante de amortecimento e a velocidade do corpo preso a sua extremidade, respectivamente. Ao representar as forças no sistema na segunda lei de newton, obtemos:
ou seja,
Condições iniciais são definidas para o sistema:
A transformada de Laplace é aplicada para calcular :
+ + = 0
Aplicando as propriedades de Laplace, a equação resultante é:
Para obter a expressão de é necessário aplicar a transformada inversa:
Ver também Circuito elétrico RLC; Movimento; Movimento harmônico (física); Movimento periódico;
Categoria:Mecânica clássica