As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Tradução para o inglês em: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.) a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia () e uma pressão () dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924. (English translation in: )

Pressupostos

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

onde é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", .

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

Equações

As equações são:

onde é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, é a constante gravitacional, é a velocidade da luz, é o fator de escala do Universo e é a curvatura gaussiana quando (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e é o raio de curvatura ( no momento atual), então . Geralmente, é a curvatura gaussiana. Se é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se é zero, o Universo é plano e se é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que e são função de . O parâmetro de Hubble, , é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

para obter:

O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidade

O parâmetro de densidade, , se define como a relação da densidade atual (ou observada) relacionado à densidade crítica do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

Onde, é a densidade de radiação atual, é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescalada

Estabelecendo onde e são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

onde . Para qualquer forma do potencial efetivo , há uma equação de estado que a produzirá.

Ver também

Astronomia Big Bang Cosmologia Cronologia do Big Bang Cronologia da cosmologia Inflação cósmica Radiação cósmica de fundo Destino último do Universo Idade do universo

Cosmologia observacional Métrica de Expansão do Universo Energia escura Métrica FLRW Lei de Hubble Matéria escura Desvio para o vermelho Modelo Lambda-CDM Nucleossíntese primordial

CoBE Estrutura em grande escala do universo BOOMERanG Forma do universo Formação estrutural Formação e evolução de galáxias SDSS WMAP 2dF

Investigadores em cosmologia Einstein Friedman Gamow Hubble Mather Penzias Smoot Wilson

Referências

Categoria:Cosmologia Categoria:Relatividade geral